Exo (Bordeaux 2005)

[Tauhiti]

je vous donne l'énoncé :

une colonie de vacances, qui acceuille au maximum 100 enfants, organise une course d'orientation par équipes. Chaque équipe est constituée d'au moins 2 enfants.

Les moniteurs souhaiteraient qu'il y ait le même nombre d'enfants dans chaque équipe mais s'ils regroupent les enfants par 3, il en restera 2. S'ils les regroupent par 4, il en restera 1 et s'ils les regroupent par 5, il en restera 2. Finalement, ils réussissent à former plusieurs équipes, toutes avec le même nombre d'enfants.

1. Combien d'enfants y a-t-il dans cette colonie de vacances?

2. Combien d'équipes sont ainsi formées?

Merci de m'aider à résoudre ce problème!

[dinou 83]

Exercice déjà fait....et réussi par Pénélope je te joins la réponse car je ne suis pas arrivée à t'envoyer sur la page

Ca te donne :

Soit N le nombre d'enfants dans la colonnie, X, Y et Z le nombre de groupes.

* Par groupe de 4 :

N = 4 X + 1

* Par groupe de 3 :

N = 3 Y + 2

* Par groupe de 5 :

N = 5 Z + 2

Conclusion, N n'est ni divisible par 4, ni par 3, ni par 5.

On s'intéresse aux groupes de 3 et de 5 :

N = 3 Y + 2 = 5 Z + 2

Donc N - 2 = 3 Y = 5 Z

Donc N - 2 est multiple de 3 et de 5.

Les possibilités pour N - 2 sont : 15 ; 30 ; 45 ; 60 ; 75 et 90

Donc N peut être égal à 17 ; 32 ; 47 ; 62 ; 77 et 92.

N n'est pas divisible par 4 donc on peut exclure 32 et 92.

N n'est pas pair car le reste dans la division par 4 est 1 (il aurait été pair si le reste était 2) donc on peut exclure 62.

N n'est pas un nombre premier car on peut faire des groupes équilibrés :

Finalement, ils finissent par former plusieurs équipes, toutes avec le même nombre d'enfants.

On peut donc exclure 17 et 47.

Il reste donc 77.

On peut faire 11 groupes de 7.

ou 7 groupe de 11 : information complémentaire de Dominique

[Tauhiti]

Merci beaucoup!

vraiment merciiiiiiiii !

[dinou 83]

De rien et je n'y étais pas arriver....moi non plus La correction claire de Pénélope m'a beaucoup aidée.

[aurore33]

soit x le nombre d'enfants

x- 2 est un multiple de 3

x- 1 est un multiple de 4

x- 2 est un multiple de 5

x- 2 se termine donc par 0 ou 5 si c'est un multiple de 5

si x - 2 se termine par 0 alors il s'agit soit du nombre :

30; 60 ou 90 pour être divisible par 3

si x- 2 se termine par 5 alors il s'agit des nombres :

15; 45; 75; pour être divisible par 3

pour que x-1 soit aussi divisible par 4 il faut que x-2 soit égale à x-2 = 75

donc x = 77

11 équipes de 7 sont formées

Aurore.

ah ben... j'ai pas été assez rapide!

[Tauhiti]

en fait j'avais la correction mais je n'avais toujours rien compris... Avec vos explications, ça va bcp mieux