Exercice sur les diviseurs et les restes

[Solea]

Bonjour,

Je suis en train de travailler sur des exercices de calculs (dont je n'ai pas les réponses) et je cale sur deux exercices

1) Trouver le plus grand entier dont le carré est un diviseur de 1 209 516

2) Trouver le nombre C, sachant que C est la différence entre 97 et le reste de la division euclidienne de 2 531 278 032 025 par 97

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer en détail car même avec le cours du CNEd j'ai du mal

[Dominique]

1) Trouver le plus grand entier dont le carré est un diviseur de 1 209 516

On écrit 1 209 516 comme un produit de nombres premiers :

1 209 516 = 2² × 3 × 7² × 11² × 17

Donc le plus grand entier x dont le carré est un diviseur de 1 209 513 est 2 x 7 x 11 qui vaut 154.

2) Trouver le nombre C, sachant que C est la différence entre 97 et le reste de la division euclidienne de 2 531 278 032 025 par 97

Remarque préalable (inutile pour faire l'exercice) : 2 531 278 032 025 correspond à un numéro INSEE dont C est "la clé".

La difficulté consiste uniquement à trouver les valeurs exactes du quotient et du reste de la division de

2 531 278 032 025 par 97 ( c'est un problème de taille d'écran de la calculatrice ...).

On peut effectuer d'abord la division euclidienne de 2 531 278 032 par 97 . On trouve que le quotient vaut

26 095 649 et que le reste vaut 79.

On en déduit :

2 531 278 032 025 = (2 531 278 032 × 1 000) + 25 = [(26 095 649 × 97) + 79]× 1000 + 25 =

(26 095 649 000 × 97) + 79 025

On peut effectuer ensuite la division de 79 025 par 97. On trouve que le quotient vaut 814 et que le reste vaut 67.

On en déduit :

2 531 278 032 025 = (26 095 649 000 × 97) + (814 × 97) + 67 = (26 095 649 814 × 97) + 67

L'écriture précédente est de la forme q × 97 + r avec r < 97.

Donc le reste de la division de 2 531 278 032 025 par 97 vaut 67 et le nombre C cherché vaut 97 - 67 soit 30 (résultat que l'on peut vérifier ICI ).

[Solea]

Merci beaucoup!

Je n'aurais pas du tout pensé à cette technique pour le 1)

Le 2) me paraît bien compliqué, je vais m'entraîner à le refaire ce soir... arf!

[Solea]

Une dernière question par rapport à l'exercice 2: ma calculette à moi affiche tous les chiffres, est-on obligé de faire toute la démonstration ? Je suppose que c'est ce qui est voulu non?

[Dominique]

Une dernière question par rapport à l'exercice 2: ma calculette à moi affiche tous les chiffres, est-on obligé de faire toute la démonstration ? Je suppose que c'est ce qui est voulu non?

Es-tu vraiment sûre que tu peux obtenir la valeur exacte du quotient et du reste dans la division de

2 531 278 032 025 par 97 avec ta calculatrice ?

[Solea]

Voici ce qui s'affiche à l'écran:

2 531 278 032 025 par 97 = 26 095 649 814,7 (elle arrondit automatiquement)

Donc:

26 095 649 814*97 = 2 531 278 031 958

2 531 278 032 025 - 2 531 278 031 958 = 67

Cette réponse simplifiée serait-elle correcte?

[Dominique]

Voici ce qui s'affiche à l'écran:

2 531 278 032 025 par 97 = 26 095 649 814,7 (elle arrondit automatiquement)

Donc:

26 095 649 814*97 = 2 531 278 031 958

2 531 278 032 025 - 2 531 278 031 958 = 67

Cette réponse simplifiée serait-elle correcte?

A priori, oui ... (mais je ne vois plus alors l'intérêt de l'exercice).

[Solea]

Mici