1,9999.... = 2 Ca me choque

[Neo]

Je ne pense pas qu'il se tirera les cheveux...

Effectivement, cela a rapport avec les limites...

Il est également possible de le démontrer via les suites géométriques...

[Laetitia81]

non je pense qu'il se tirera les cheveux si je lui dit:

"salut, au fait, c'est vrai que 1.999999...=2???"

là il va crier un "QUOI".........

[gillou]

Tu sais titi, je vais pas m'étaler sur mon passé universitaire, mais issu d'une branche scientifique, ça m'a également surpris. Mais en prenant un peu de recul, effectivement, ça se défend comme théorie. Le problème c'est que nous sommes persuadés de certaines choses, et quand on nous en dit d'autres, ça met le feu dans nos acquis, et du coup ça nous bouleverse. Et là : conflit cognitif.

Et là les comportements humains se révèlent : un nous parle de suites, l'autre de complexes, ou encore de limites. Tout le monde ressort sa science pour une chose qui se démontre avec des données de 3è.

Pour une fois, faites preuve d'humilité, et même si vous êtes d'excellents matheux (je n'en doute pas), acceptez l'invraisemblable. Les mathématiques sont vraies à partir du moment où elles sont démontrées de manière rationnelle. C'est le raisonnement qu'il faut essayer de démonter, pas le résultat par des explications ultra scientifiques.

Et les matheux s'amusent à bouleverser les idées reçues, ne sautez pas dans le premier piège tendu !!

<_<

[Laetitia81]

d'accord grand maître!

Effectivement j'ai un cursus scientifique... _bl_sh_ :

bac S+licence Mathématiques Appliquées et Sciences Sociales... _bl_sh_

et c'est vrai que j'ai du mal à raisonner avec des exos de collège!!! <_<

pleins de bisous à toi et bon courage Gillou, comme je te l'ai déjà dit on patientera pratiquement ensemble car on a pratiquement le même rang maintenant!

[Florent]

Je peux m'incruter ? Oui ? Merci...

Alors, la fraction 1/3 vaut 0,33333333 infini ok ?

Si on fait 0,333333 (inf) + 0,3333 (inf) + 0,33333 inf, on obtient 0,99999 (inf). Toujours ok ? On vient de faire 0,33333 x 3. Oui, hein ?

Or, quand on fait 1/3 x 3, on obtient 3/3 donc 1. Hum ?

Alors.... 0,999999 (inf) = 1. Non ?

[Dominique]

Bonjour,

Tout nombre entier (et plus généralement tout nombre décimal) a effectivement deux écritures dans notre système de numération : une écriture composée d'un nombre fini de chiffres (exemples : 241 ou 153,84) mais également une deuxième écriture composée d'un nombre infini de chiffres (pour 241 c'est 240,999... avec une infinité de 9 ; pour 153,84 c'est 153,83999... avec une infinité de 9).

Effectivement au début, ça peut choquer mais il est important de remarquer qu'on parle d'écritures avec une infinité de 9 qui se suivent.

240,999... avec cinq mille milliards de 9 n'est pas égal à 241. Il ya un chouïa de différence ;-).

Mais avec une infinité de 9 on a bien l'égalité.

Comment le démontrer ?

Dans un premier temps, pour les "moins matheux", on peut se contenter de dire : si vous acceptez que 1/3 soit égal à 0,333... avec une infinité de 9, vous devez bien accepter aussi en multipliant des deux côtés par 3 que 1 soit égal à 0,999... avec une infinité de 9.

Si on veut une démonstration plus rigoureuse, il faut d'abord qu'on définisse ce que signifie 0,999... avec une infinité de 9 car comment parler, en mathématiques, de quelque chose qu'on n'a pas rigoureusement défini ? Eh bien, la seule manière de définir 0,999... c'est de dire que, par définition, c'est la limite quand n tend vers l'infini de 0,999... avec n neufs après la virgule.

Or on démontre que cette limite est bien égale exactement à 1 (pour les "matheux" il s'agit de trouver la limite d'ue somme de termes consécutifs d'une suite géométrique ...).

Pour des explications complémentaires voir ici :

http://faq.maths.free.fr/html/node5.html

Cordialement,

Dominique

[Dominique]

Bonjour,

Dans mon précédent message, j'ai écrit :

"si vous acceptez que 1/3 soit égal à 0,333... avec une infinité de 9".

J'aurais, bien sur, du écrire "si vous acceptez que 1/3 soit égal à 0,333... avec une infinité de 3".

Remarque : j'ai aussi écrit "d'ue somme" au lieu "d'une somme" et "Coridalement" à la place de "Cordialement" et j'en oublie certainement ... On mettra ça sur le compte du clavier (j'ai déjà enfilé mes gants d'hiver).

Dominique

[AubergineFelee]

Pas scientifique, pas matheuse. J'ai lu et relu toutes vos explications ....................

Décidément, les maths me laissent perplexe.

Et je ne suis pas convaincue

Donc, en fait, si j'ai bien tout compris : Faut surtout pas se poser de questions

[fantomette]

Merci à Gilou, Florent et Dominique qui essaient avec patience de nous expliquer ce phénomène.

c'est tout de même interessant l'infini.

J'ai eu une réponse de la prof d'IUFM (très sympa), je cite ses propos ci-dessous et vous encourage à aller visiter son site fabuleux sur les mathématiques.

http://perso.wanadoo.fr/therese.eveilleau/..._mat/indexF.htm

Réponse de la prof :

"je comprends que ce cas particulier vous étonne et c'est bien comme cela ;o) Ne soyez pas effondrée, nous avons été étonnés avant vous mais avec le sourire...

Pour vous convaincre que 1,999... infini est bien égal à 2 essayez de trouver un nombre plus grand que 1,999... mais plus petit que 2 ! C'est IMPOSSIBLE et voilà une façon bien intuitive de montrer que ces deux nombres sont égaux.

Quand vous dîtes qu'il tend vers 2 c'est parce qu'implicitement vous limitez le nombre de 9, même si vous en mettez beaucoup.

Ce cas n'est pas banal et doit être considéré comme un cas particulier. Cependant il est vrai et parfaitement juste que 1,999... avec une infinité de 9 est égal à 2, tout comme 6,999... avec une infinité de 9 est égal à 7.

En réalité tout réside dans le mot infini, comme vous le pressentez dans votre remarque : Et puis que sait-on sur l'infini ?

Si l'on met 3 millions de 9 seulement ... ;o) alors l'égalité est fausse. Infini veut dire que cela ne s'arrête jamais ! Philosophiquement et historiquement, inutile de vous dire que l'infini a posé des problèmes en mathématiques. C'est exactement la même impression que lorsqu'on dit que l'univers est infini : il est impossible de l'imaginer et pourtant...

Donc la démonstration qui vous est proposée est juste. Cependant la notation avec les 3 points de suspension n'est pas très rigoureuse, bien qu'admise. C'est elle qui trouble : on devrait mettre une barre sur le 9, mais le traitement de texte n'est pas adapté.

Vous connaissez bien d'autres résultats de ce genre : par exemple 4,545454545... répété à l'infini est égal à 45 divisé par 99. Vérifiez-le sue votre calculette... C'est exactement le même genre de paradoxe : on a transformé une écriture infinie en une écriture finie. Etonnant mais juste. Faites d'autres essais en divisant un nombre entier quelconque par un nombre formé uniquement de 9 et vous verrez une suite périodique apparaître.

Je voudrais aussi reprendre votre phrase :

donc dans ce cas particulier, un rationnel non décimal avec une partie décimale périodique illimitée = un entier naturel

Il y a une dans votre phrase : le nombre proposé 1,99999 est rationnel mais il est décimal et donc il peut être naturel : ici c'est 2.

Le cas d'un rationnel non décimal qui est entier est IMPOSSIBLE puisque tout entier est forcément un décimal !

La définition d'un décimal n'impose pas qu'on ait un nombre fini de chiffres après la virgule : cette définition est trop restrictive. Et vous avez bien vu qu'elle ne marche pas sur 1,999... qui est aussi égal à 2.

C'est :

un nombre décimal PEUT s'écrire sous forme de quotient d'un entier par une puissance de 10.

ou

un nombre décimal PEUT s'écrire sous forme de quotient d'un entier par des puissances de 2 ou de 5.

ou

un nombre décimal PEUT s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

Ce qui fait la différence est le verbe PEUT qui n'impose pas de le voir écrit sous cette forme :

ainsi 1,999... est une autre écriture de 2 qui s'écrit aussi 2,00

D'ailleurs à l'école primaire on se contente à juste titre qe parler de nombres à virgules... Attention ne pas confondre nombre décimal et nombre à virgule. Ce dertnier n'étant qu'une façon d'écrire un décimal.

Ce cas est tellemnt troublant que j'en ai fait une page amusante mais un peu bizarre ;o) dans mes paradoxes : je l'ai appelée

la 'revanche de cycleux' dans laquelle je donne une démonstration rigoureuse du résultat avec les suites géométriques :

http://perso.wanadoo.fr/therese.eveilleau/...tes/cycleux.htm

J'espère vous avoir aidée un peu. En tout cas, revoyez bien le chapitre sur les décimaux et les exemples proposés sans trop vous attarder sur ce cas particulier qui ne devrait pas faire l'objet d'une longue question au concours, c'est trop pointu.

Bonne chance et bon courage à vous.

Merci pour vos réponses et surtout bon courage à Véro pour l'épreuve de maths, accroche toi, les maths ce n'est pas si compliqué que ça en à l'air.

bisous à tous

[gillou]

Comme quoi prof de maths ça s'improvise pas !!

Merci Fantomette !

[Laetitia81]

ouf quelle explication, j'ai presque rien compris!!!

[VirgR]

c'est ce côté, poétique ( :P ), que j'aime dans les math,... même si je comprend pas toujours tout!