Numération Exo dijon 1997

[Tauhiti]

Enoncé

Un nb à 3 chiffres est 26 fois plus grand que le nb à 2 chiffres formé en enlevant le chiffre des centaines. Trouvez ce nb. Combien existe-t-il de solutions?

Corrigé

soit un entier N à 3 chiffres. Posons N = cdu.

on a : 0 < c <= 9; 0<= d <=9; 0<=u<=9

soit N' le nb obtenu en enlevant le chiffre des centaines à N

on a : N' = du = 10d + u (1)

par hypothèse on a : N = 26N' (2)

en combinant les 1 et 2, on obtient :

100c + N' = 26N'

N'= 4c

N = 100c + 4c soit N=104c

jusque là ça va ms c après que ça ne va plus :

c peut prendre 9 valeurs : 1 2 3 4 5 6 7 8 ou 9

la solution comporte 9 valeurs possibles pr l'entier N :

104 208 312 416 520 624 728 832 et 936

en fait je ne vois pas comment on conclut les résultats ci dessus surtout "c peut prendre 9 valeurs"

Merci beaucoup!

[Dominique]

.../...

N = 100c + 4c soit N=104c

jusque là ça va ms c après que ça ne va plus :

c peut prendre 9 valeurs : 1 2 3 4 5 6 7 8 ou 9

la solution comporte 9 valeurs possibles pr l'entier N :

104 208 312 416 520 624 728 832 et 936

en fait je ne vois pas comment on conclut les résultats ci dessus surtout "c peut prendre 9 valeurs"

On sait, dès le départ, que c est le premier chiffre d'un nombre à trois chiffres et donc que c ne peut prendre que neuf valeurs : les valeurs entières 1, 2, ..., 9.

On donne donc successivement à c les valeurs 1 , ..., 9 et, pour chaque valeur, on calcule 104 × c.

[doudou]

Bonjour,

Moi je ne comprends pas pourquoi on a N=100c+4c=104c. je me seai arrêté à N'=4c pourquoi on rajoute 100c alors qu'on l'a déjà utilisé? 100c+N'=26N'. Je pensais être au point en arthmétique mais là il ya quelque chose qui m'échape. Merci pour votre aide

[Dominique]

Bonjour,

Moi je ne comprends pas pourquoi on a N=100c+4c=104c. je me seai arrêté à N'=4c pourquoi on rajoute 100c alors qu'on l'a déjà utilisé? 100c+N'=26N'. Je pensais être au point en arthmétique mais là il ya quelque chose qui m'échape. Merci pour votre aide

100c + N' = 26N' traduit le fait que N vaut 26 fois N' alors que N = 100c + N' (et donc N = 100c + 4c car N' = 4c) traduit le fait que N' est obtenu à partir de N en enlevant le chiffre des centaines.

Remarque : voici une autre rédaction possible pour la solution :

On suppose que n =

On sait que :

(1) N = 100c + N' (car N' est obtenu à partir de N en enlevant le chiffre des centaines)

(2) N' = 10 d + u (car le chiffre des dizaines de N' et le chiffre des unités de N' sont respectivmeent d et u)

(3) N = 26 × N' (car N est vingt-six fois plus grand que N')

On en déduit en remplaçant dans l'équation (1) N et N' par les valeurs données par les équations (2) et (3) :

26 × (10d + u) = 100c + 10d +u

D'où :

260d + 26 u = 100c + 10d + u

100c - 250 d - 25u = 0

4c - 10 d - u = 0

u = -10d + 4c

Solutions :

c = 1 d = 0 u = 4

c = 2 d = 0 u = 8

c = 3 d = 1 u = 2

c = 4 d = 1 u = 6

c = 5 d = 2 u = 0

c = 6 d = 2 u = 4

c = 7 d = 2 u = 8

c = 8 d = 3 u = 2

c = 9 d = 3 u = 6

Valeurs possibles pour le nombre cherché :

104 208 312 416 520 624 728 832 et 936

[doudou]

Merci Dominique. J'avais oublié un point imprtant N' est obtenu à partir de N en enlevant le chiffre des centaines. A la fin il ne fallait pas oublier de rajouter 100 c. La deuxième méthode me parraît plus simple car l'équation étant posée il ne reste plus qu'à chercher les différentes solutions.

Je suis contente car lorsque l'on comprend les maths on finit par aimer cette matière. Cela demande beaucoup de rigueur beacoup d'entrainement pour finir par comprendre des petites subtilités. en tout cas merci pour votre aide qui m'est vraiment précieuse car au delà du concours cela m'apporte beaucoup et une grande satisfaction.