problème de numération

[Anja]

Qui peut m'aider à résoudre ce problème :

Démontrer que, si dans une nombre de quatre chiffres abcd , on a: b+d= a+c alors ce nombre est divisible par 11.

La réciproque est-elle vraie?

Merci

[Anja]

Qui peut m'aider à résoudre ce problème :

Démontrer que, si dans une nombre de quatre chiffres abcd , on a: b+d= a+c alors ce nombre est divisible par 11.

La réciproque est-elle vraie?

Merci

...

[jojo]

Salut!

Il faut partir de la caractéristique propre à la divisibilité par 11: La somme des chiffres de rang impair moins celle des chiffres de rang pair doit être multiple de 11.

On peut le prouver en disant qu'en base 10, tous les nombres à 4 chiffres s'écrivant abcd, peuvent s'écrire 1000a+100c+10d+1a.

[ptilou]

Qui peut m'aider à résoudre ce problème :

Démontrer que, si dans une nombre de quatre chiffres abcd , on a: b+d= a+c alors ce nombre est divisible par 11.

La réciproque est-elle vraie?

Merci

Si abcd est divisible par 11 alors il existe un nombre à trois chiffres efg tel que abcd = efg x 11. Calculons le deuxième terme de l'égalité.

efg x 11 = efg x 10 + efg et s'ecrit donc efg0 + efg

Cherchons efg tels que efg0 + efg = abcd. Il vient e=a, f+e=b, g+f=c et g=d. Ainsi on constate que f+a=b et d+f=c. Soit, en soustrayant les 2 equations, d-a=c-b, qu'on peut aussi ecrire b+d=a+c

Il suffit de préciser lors de cette démonstration qu'on n'utilise que des équivalences pour passer d'une ligne à l'autre pour affirmer que la demonstration se fait aussi bien dans un sens que dans l'autre et qu'ainsi la réciproque est vraie.

[pieru]

Autre manière :

(abcd) = 1000a+100b+10c+d = 11(91a + 9b+c)-a+b-c+d = 11(91a+9b+c)- (a+c) + (b+d)

si a+c = b+d, alors (abcd) multiple de 11

Pieru

[Anja]

Cherchons efg tels que efg0 + efg = abcd. Il vient e=a, f+e=b, g+f=c et g=d. Ainsi on constate que f+a=b et d+f=c. Jusqu'ici, je te suis mais après, je ne comprends pas comment tu peux dire que b+d=a+c

[Anja]

Autre manière :

(abcd) = 1000a+100b+10c+d = 11(91a + 9b+c)-a+b-c+d = 11(91a+9b+c)- (a+c) + (b+d)

Jusqu'ici, tout est clair, mais après comment passer de cette ligne à l'autre. Est-ce que c'est que tout diviseur commun à deux entiers divisent leur somme et leur diviseur?

si a+c = b+d, alors (abcd) multiple de 11

Merci de me répondre car j'ai vraiment du mal avec la numération.

[Anja]

J'ai encore un autre exo:

Démontrer sans effectuer la division que 5214 est multiple de 66

a) en utilisant les critères de divisibilité

b) en utilisant le fait que, dans la division euclidienne de 5200 par 66 le quotient et le reste est 52.

Pour le a) , je peux dire que si un nombre est divisible par 11 et par 6, alors il est divisible par 66 car 6 et 11 sont premiers entre eux. Donc il faut que je démontre que 5214 est divisible de 11 et de 6.

Critères de divisibilité par 11: je peux dire que 5214 est multiple de 66 car 5+1=4+2. Est-ce que ça suffit alors pour dire que 5214=11k ?

Critères de divisibilité par 6: il faut que 5214 soit divisible par 2 et par 3, donc il sera divisible par 6 car 2 et 3 sont premiers entre eux.

5214 est divisible par 2 car il est pair: 5214=2k

5214 est divisible par 3 car la somme de ses chiffres est multiple de 3: 5+2+1+4=12 et 12=3*4

Est-ce que ma démonstration suit la route ou non?

Pour le b, j'ai du mal! Si quelqu'un peut me donner un coup de pouce, ce n'est pas de refus!!

[Anja]

Je fais un monologue...

Je crois avoir trouvé mais j'ai peur que ça soit trop simple pour le b. Je me lance:

D'après l'énoncé si 5200/66=78 +52, on a 5200= 78*66+52; 5200+14=78*66+(52+14); 5200=78*66 +66 Soit 5214=79*66

Est-ce que c'est ok?

[ROZ]

A mon avis, c'est ok !