madison23 Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 Des exemples d'exercices issus de l'iufm : exercice 1 : 1/ Montrer que le produit de trois nombres consécutifs est divisible par 6 2/ Montrer que n2 (n2 - 1) (où n est un entier naturel) est divisible par 12 ====================================================== exercice 2 : Soit N= 8XX23Y l'écriture chiffrée de l'entier N en base 10 Déterminer X et Y pour que N soit divisible par 9 et par 15 ====================================================== exercice 3 : 1/ déterminer le nombre de diviseurs de 784 démontrer que 784 est un carré parfait (=28 *28 ) 2/ soit n un entier naturel non nul qui est un carré parait. démontrer que n admet un nombre impair de diviseurs 3/ un entier naturel qui admet un nombre impair de diviseurs est-il toujours un carré parfait ? justifier la reponse ======================================================= exercice 4 : 1/ justifier le raisonnement suivant : - pour savoir si 947 est divisible par 7 je fais : (9*2) + 47 = 18 + 47 = 65 65 n'est pas divisible par 7 donc 947 ne l'est pas non plus de même pour 266 je fais : (2*2) + 66 = 4 + 66 = 70 70 est divisible par 7 et donc 266 l'est aussi 2/ déterminer , en utilisant ce procédé, si 237 441 est divisible par 7 ============================================= Voilà les 4 exercices qui me font "chauffer le cerveau". Pouvez vous m'éclaircir Merci de m'aider. Bye à plus tard Madison23
doudoushka Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 oula......................... <_< euh.............DOMINIQUE, t'es dans le coin s'il te plait?? J'espere que quelqu'un nous proposera des réponses d'ici vendredi. doudoushka
madison23 Posté(e) 9 mai 2006 Auteur Posté(e) 9 mai 2006 Toutes les solutions sont les bienvenues Je lance un SUuuuuuupeerrrr apppppppellll aux bonnes Ames Mathématiciennes Madison23
sewerinne Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 Montrer que le produit de trois nombres consécutifs est divisible par 6 Soit n un nombre , le produit de trois nombres consécutifs est : n * ( n+ 1 ) * ( n + 2 ) Montrons qu'il est divisible par 6 = 2 * 3 si n est pair, le produit sera pair donc divisible par 2 si n impair le produit sera pair , donc divisible par 2 ainsi quelque soit n le produit est divisible par 2 Montrons que le produit est divisible par 3. dans le produit de 3 nombre consécutifs, il y a forcément un multiple de 3. donc le produit est un multiple de 3 Le produit est divisible par 2 et par 3, donc par 6.
kikoo Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 Je commence par le 2 car le 1 me pose un petit souci Soit N= 8XX23Y l'écriture chiffrée de l'entier N en base 10 Déterminer X et Y pour que N soit divisible par 9 et par 15 Divisible par 9 => 8+2X+2+3+Y soit divisible par 9 autrement dit 2X + Y +13 divisible par 9 Divisible par 15 est equivalent à divisible par 3 et par 5 (car 3 et 5 sont premiers entre eux) d'ou 2X+13 divisible par 3 et Y = 0 ou 5 Cas ou Y=0 on résoud donc 2X+13 divisible par 3 et par 9 (ce qui revient à chercher uniquement si divisible par 9 car si un nombre est divisible par 9 il est forcement divible par 3) 2X+13 = 18 impossible 2X+13 = 27 => X=7 2X+13 = 36 => X > 10 or X est un chiffre Cas ou Y=5 on résoud donc 2X+18 divisible par 9 2X+18 = 18 => X=0 2X+18 = 27 impossible 2X+18 = 36 => X=9 Les solutions sont donc 800235 899235 877230 J'espere que je n'en ai pas oublié. Si qq'1 pouvait confirmer, ca serait cool. Je file faire la suite Kikoo
madison23 Posté(e) 9 mai 2006 Auteur Posté(e) 9 mai 2006 Coucou Donc pour le 2e point : 12 est multipe de 6 et inversement donc n2 (n2 - 1)est divisible par12 Le raisonnement me semble bon , qu'en pensez - vous? Madison23
kikoo Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 >Montrons qu'il est divisible par 6 = 2 * 3 >si n est pair, le produit sera pair donc divisible par 2 >si n impair le produit sera pair , donc divisible par 2 >ainsi quelque soit n le produit est divisible par 2 Pour ca je suis d'accord Mais pas pour la suite !! >Montrons que le produit est divisible par 3. >On utilise le critère de divisibilité par 3 : >on ajoute n + ( n+ 1) + ( n + 2) = 3n + 3 >donc divisible par 3. Un nombre est divisible par 3 si la somme de SES CHIFFRES est divisible par 3 Ici n+(n+1)+(n+3) ne correspond pas à la somme de SES CHIFFRES mais à la somme de trois nombres consecutifs. (Ex si on prend n=20, le produit est 20*21*22 soit 9240, il faut donc verifier que 9+2+4+0 soit divible par 3 et non que 20+21+22 soit divisible par 3) Je propose donc de s'appuyer sur les propreites des nombres divisibles par 3 Pour passer d'un nombre divisible par 3 au suivant, il suffit d'ajouter 3 donc entre n, n+1 et n+2, il y a forcement un des nombres qui est divisible par 3 d'ou le produit sera egalement divisible par 3. DOnc un nombre divisible par 2 et par 3 est divisible par 6 car 2 et 3 sont des nombres premiers entre eux.
sewerinne Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 Oui kikoo, tu as raison, j'ai d'ailleurs édité mes bétises. J'ai vu l'erreur une fois que j'avais posté.
kikoo Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 Passons au 3, 1/ déterminer le nombre de diviseurs de 784 démontrer que 784 est un carré parfait (=28 *28 ) 784 = 2^4 * 7^2 le ^ signifie puissance Le nombre de diviseurs de 784 est alors (4+1)*(2+1) soit 15 Pour le fun, les 15 diviseurs de 784 sont : 1, 2, 4, 8, 16, 7, 14, 28,56 112,49 , 98, 196,392 et 784 Les puissances de chacun des facteurs de 784 etant des nombres pairs, on peut ecrire 784 sous la forme de deux produits identiques, 784 est donc un carré parfait. 784 = (2^2 * 7^1) * (2^2 * 7^1) = 28 *28
Dominique Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 exercice 1 :1/ Montrer que le produit de trois nombres consécutifs est divisible par 6 2/ Montrer que n2 (n2 - 1) (où n est un entier naturel) est divisible par 12 1 Parmi trois nombres entiers consécutifs, il y a toujours d'une part au moins un nombre pair et d'autre part un multiple de 3. Le produit est donc divisible par 2 et par 3 et comme 2 et 3 sont premiers entre eux (ils n'admettent pas d'autre diviseur commun que 1) alors le produit est divisible par 6. 2 Le nombre donné s'écrit n² × (n-1) × (n+1) soit (n-1) × n × (n+1) × n (n-1) × n × (n+1) est le produit de trois entiers consécutifs donc un de ces entiers est un multiple de 3 donc le nombre donné est divisible par 3. Par ailleurs, Si n est pair, n² est un multiple de 4 Si n est impair, (n-1) × (n+1) est le produit de deux entiers pairs consécutifs donc (n-1) × (n+1) est divisible par 4. Dans tous les cas, le nombre donné est divisible par 3 et par 4 et, comme 3 et 4 sont premiers entre eux (ils n'admettent pas d'autre diviseur commun que 1), le nombre donné est divisible par 12.
kikoo Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 Exo3, 2/ soit n un entier naturel non nul qui est un carré parfait. démontrer que n admet un nombre impair de diviseurs Si n est un carré parfait alors il s'ecrit comme le produit de facteurs elevés à une puissance paire. Le nombre de diviseurs étant le produit des différentes puissances auquel on a ajouté 1 (donc un produit de nombres impairs) sera lui aussi impair. Kikoo
madison23 Posté(e) 9 mai 2006 Auteur Posté(e) 9 mai 2006 Kikoo T'es super peux tu mexpliquer comment tu trouves (4+1)*(2+1) soit 15 pour l'exo 3 Merci madison23
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