kikoo Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 3/ un entier naturel qui admet un nombre impair de diviseurs est-il toujours un carré parfait ? justifier la reponse Un nombre qui admet un nombre de diviseurs impairs s'ecrit sous la forme d'un produit de facteurs eleves à une puissance paire. (car pour obtenir un nombre impair, il faut multiplier que des nombres impairs entre eux et ces nombres impairs sont les puissances des facteurs +1, donc les puissances sont paires) On peut donc toujours ecrire ce nombre sous la forme de deux produits identiques, il s'agit donc d'un carré parfait.
Dominique Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 exercice 2 :Soit N= 8XX23Y l'écriture chiffrée de l'entier N en base 10 Déterminer X et Y pour que N soit divisible par 9 et par 15 N est divisible par 9 et 15 si et seulement si il est divisible par 9 et 5 donc si et seulement si d'une part 13 + 2X + Y est un multiple de 9 et d'autre part Y= 0 ou Y =5. Premier cas : Y = 0 On cherche X tel que 13 + 2X soit un multiple de 9. On trouve comme seul possibilité X = 7. Deuxième cas : Y = 5 On cherche X tel que 18 + 2X soit un multiple de 9. On trouve X = 0 ou X = 9. Conclusion Il ya trois solutions : 800235 877230 899235
kikoo Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 exercice 4 : Soit un nombre qui s'ecrit cdu si 2c+ 10d+ u est divible par 7 alors 100c+10d+u le sera aussi car on a ajouté 98c à la premiere equation et 98c est divisible par 7. Dans les exemples - pour savoir si 947 est divisible par 7 je fais : (9*2) + 47 = 18 + 47 = 65 c=9, d=4, u=7 2*9+10*4+7 = 2*9+47 = 65 or 65 n'est pas divisble par 7 donc meme si on ajoute 98*9 qui est divisible par 7, la somme ne le sera pas. de même pour 266 je fais : (2*2) + 66 = 4 + 66 = 70 c=2, d=6, u=6 2*2+10*6+6 = 2*2+66 = 70 et 70 est divisible par 7 donc si on ajoute 98*2 qui est aussi divisble par 7, le tout sera encore divible par 7.
kikoo Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 Merci Dom pour la fin de l'exo 1 (je n'avais pas pensé à la division par 4) et la confirmation des autres résultats. Bon courage à tous, kikoo
madison23 Posté(e) 9 mai 2006 Auteur Posté(e) 9 mai 2006 UN SUPER MERCI A VOUS TOUS KIKOO DOMINIQUE... Merci Madison
madison23 Posté(e) 9 mai 2006 Auteur Posté(e) 9 mai 2006 kikoo Merci encore, Je viens de noter tous que je vais revoir demain matin car ce soir j'ai la tête qui explose J'ai encore quelques exercices de meme style que je mettrais plus tard ou je bloque aussi Travailler toute seule c'est pas facile je te remercie de ton aide ainsi que Dominique Bonne soiree bisous Madison23
Dominique Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 exercice 3 :1/ déterminer le nombre de diviseurs de 784 démontrer que 784 est un carré parfait (=28 *28 ) 2/ soit n un entier naturel non nul qui est un carré parait. démontrer que n admet un nombre impair de diviseurs 3/ un entier naturel qui admet un nombre impair de diviseurs est-il toujours un carré parfait ? justifier la reponse 1) 784 = Donc, le nombre de diviseurs de 784 est égal à (4+1) × (2+1) soit 15. 784 est un carré parfait car on peut écrire : = = 28² 2) Si n = p² alors la décomposition en facteurs premiers de n ne fait apparaître que des exposants pairs. La formule qui donne le nombre de diviseurs ne comporte donc que des facteurs impairs et le résultat est donc impair (car un produit de nombres impairs est toujours impair). 3) Soit un nombre n admettant un nombre impair de diviseurs d1, d2, ...,d2n, d(2n+1) supposés rangé du plus petit au plus grand. n est égal au produit du premier diviseur d1 par le dernier d(2n+1) n est égal au produit du deuxième diviseur d2 par l'avant-dernier d2n etc. Et, comme il y a un nombre impair de diviseurs, n est égal au produit du diviseur occupant la position du milieu dans la liste des diviseurs par lui-même. n est donc un carré parfait. En complément, et en particulier pour la formule donnant le nombre de diviseurs, voir : http://perso.wanadoo.fr/pernoux/ppcm.pdf (page 3)
Dominique Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 peux tu mexpliquer comment tu trouves (4+1)*(2+1) soit 15 pour l'exo 3 Voir la formule à la page 3 de ce document : http://perso.wanadoo.fr/pernoux/ppcm.pdf
kikoo Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 Il me manque l'art de la rédaction <_< Quand je vois les réponses limpides de Dominique, je rêve de pouvoir en faire autant. Dominique, vendredi matin tu nous envoies tes bonnes ondes, hein :P ? Kikoo
Dominique Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 exercice 4 :1/ justifier le raisonnement suivant : - pour savoir si 947 est divisible par 7 je fais : (9*2) + 47 = 18 + 47 = 65 65 n'est pas divisible par 7 donc 947 ne l'est pas non plus de même pour 266 je fais : (2*2) + 66 = 4 + 66 = 70 70 est divisible par 7 et donc 266 l'est aussi Le nombre x donné au départ s'écrit 100n + 10 d + u. Le nombre y construit à partir de n vaut 2n + 10d +u. On a donc x = y + 98n. Or 98n est un multiple de 7 car 98, qui vaut 7 × 14, est un multiple de 7. Donc x est un multiple de 7 si et seulement si y est un multiple de 7. 2/ déterminer , en utilisant ce procédé, si 237 441 est divisible par 7 2 374 x 2 + 41 = 4789 4789 n'est pas un multiple de 7 donc 237 441 n'est pas un multiple de 7.
kikoo Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 oups, j'ai oublié une question dans l'exo 4!! Et ce n'est pas la première fois que cela m'arrive!! Je sais à quoi penser jeudi et vendredi : verifier que je reponds à toutes les questions et pas à une partie uniquement!! Kikoo
Dominique Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 Dominique, vendredi matin tu nous envoies tes bonnes ondes, hein :P ? Je vous souhaite, bien entendu, le maximum de réussite mais pour ce qui est d'émettre des ondes, je ne suis pas fiable à 100 % ...
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