Le nombre et les nombres

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Quelques outils pour développer la connaissance des nombres

- la bande numérique

- le tableau de nombres : faire apparaître la parfaite régularité de la représentation chiffrée (CP - CE1)

- la droite graduée

- les tableaux de numération : évolution du nombre de colonnes au cours des différents cycles d'apprentissage

- matériel classique : plaque, barre, cube pour la manipulation ou abaques

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Groupements et Echanges

- des uns qui demeurent

- des uns qui s'échangent mais restent visibles : des cubes forment une barre

- des uns qui disparaissent mais laissent une trace symbolique : 10 pièces de 1€ deviennent 10€

- des uns qui se transforment en un autre selon une règle définie : 10 petits cubes deviennent 1 gros cube

- des uns qui parlent selon la position : les bouliers

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Un peu de vocabulaire

Nombre repère : 0, 2857143

Troncature au dizième : 0,2

Arrondis au dizième : 0,2 par défaut / 0,3 par excès

Arrondis au cent millième : 0, 28571

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PROGRAMMES

Cycle 1 : Approche des quantités et des nombres

- Problèmes portant sur des quantités (tâches de comparaison, d'égalisation, de distribution et de partage)

Recours :

~> Estimation perceptive et globale

~> Comparaison de collections à des collections naturelles ou repères

~> Dénombrement avec la comptine numérique (quantification)

- Donner du sens aux nombres

~> Comparer des quantités

~> Mémoriser et communiquer des informations sur les quantités

~> Réaliser une collection

- Anticiper le résultat d'une action sur les quantités

- Travail sur les désignations orales et écrites

Cycle 2

1) Connaissances des nombres entiers naturels

- Les nombres permettent de résoudre certains problèmes

- Construction des premières connaissances relatives à la numération décimale : capacité à connaître la valeur d'un chiffre en fonction de sa position dans l'écriture du nombre

- Structruration du domaine numérique : connaissances sur la comparaison des nombres et élaboration des relations additives et multiplicatives

- Dénombrement des éléments d'une collection (groupements et échanges)

- Mise en relation des désignations écrites et parlées

- Relation arithmétique entre les nombres

2) Exploitation de données numériques

- Exprimer et garder en mémoire une quantité

- Comparer des quantités ou des grandeurs

- Prévoir quel sera le résultat d'actions sur des quantités, positions ou grandeurs

Cycle 3

1) Connaissance des nombres naturels

- Numération décimale

- Désignations écrites et parlées

- Comparaison et rangement de nombres, placement sur une droite graduée

- Relations arithmétiques

2) Connaissance de fractions simples et des nombres décimaux

- Fractions simples : utilisation, écriture, encadrement entre deux entiers successifs, écriture comme somme d'une entier naturel et d'une fraction inférieure à 1

- Nombres décimaux : utilisation, valeur des chiffres en fonction de leurs positions, passage d'une écriture à virgule à une écriture fractionnaire, suite des nombres décimaux, lien entre les désignations orales et écrites

- Comparaison, rangement, intercalation, encadrement

- Valeur approchée

3) Exploitation des données numériques

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Numération : Difficultés pour les élèves

- Numération orale irrégulière

- Invariance d'une collection du point de vue de la quantité si on bouge les éléments : Cf. travaux de Piaget sur les enfants conservants ou non conservants

- Conflit entre la quantité d'éléments de chaque collection et la perception de l'espace occupé par chacune d'elle

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Progression proposée par l'INRP pour la numération au cycle II

1/ Approche globale des nombres

- Les noms des nombres avec apprentissage de la suite des mots nombres

- Les écritures chiffrées avec fabrication d'une bande numérique qui va permettre de garder en mémoire une trace de la suite des nombres connus

CP : utilisation des étiquettes nombres

2/ Approche algorithmique de la suite des nombres

3/ Le groupement par 10 : saisir le rôle des échanges et des groupements dans notre système de numération : comprendre la signification des chiffres en fonction de leur position dans l'écriture du nombre

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Les nombres décimaux

Les nombres décimaux permettent de résoudre des problèmes non résolus par les entiers, ce sont de nouveaux nombres : les propriétés que l'on applique à ces derniers ne se déduisent pas des entiers naturels par simple extension !

Dans le programme de l’école primaire, on lit : « Au cycle des approfondissements, l’élève consolide et prolonge ses acquis concernant les nombres entiers et découvre de nouveaux nombres : les nombres décimaux et les fractions ».

Nombres décimaux présentés comme des fractions particulières : les fractions interviennent comme des outils pour mesurer des grandeurs - les fractions décimales et les écritures à virgule

Attention : Mauvaise introduction au niveau pédagogique qui induit chez les élèves le prolongement sur les décimaux des propriétés des nombres entiers

- Nombres décimaux en relation avec le système métrique, conversion d'unités

- Nombres décimaux introduits à partir d'un changement d'unité

=> Comparaison de deux nombres décimaux codés sous forme décimale : difficultés dans le rangement (le plus grand nombre est cleui qui a le plus de chiffres après la virgule), difficultés liées à la numération et à l'interprétation des écritures

=> Intercalation des nombres décimaux

Tout nombre réel peut être approché d'aussi près que l'on veut par un nombre décimal.

Entre deux nombres décimaux distincts on peut toujours trouver un autre nombre décimal et même une infinité (densité des décimaux).

La notion de successeur et de prédécesseur n'a pas de sens dans l'ensemble des décimaux.

Afin de respecter « l’esprit des programmes », il est nécessaire de proposer des activités qui permettent aux élèves de prendre conscience :

* que les nombres décimaux permettent de résoudre des problèmes que les nombres entiers ne permettent pas de résoudre de façon satisfaisante

* que les propriétés et les théorèmes qui sont valables dans le champ des entiers ne le sont pas nécessairement dans le champ des décimaux et que ceux-ci vérifient d’autres propriétés.

[Dominique]

La base 3 avait été donnée : la consigne était de convertir 97 en base 10 en une écriture en base 3

.../...

Quelques explications supplémentaires en fichier joint (fichier word).

Voir éventuellement aussi : http://pernoux.perso.orange.fr/bases.pdf

base_trois.doc

[Dominique]

R : Ensemble des réels : écritures décimales illimitées

.../...

Bravo à DolphinAtlantica pour tout ce travail !

Juste une petite remarque : parmi les réels il y a aussi les nombres décimaux qui admettent une écriture décimale finie.

[DA-]

Ha ben voui, évidemment Dominique !!! Merci pour cette remarque !!! Je vais corriger ça de suite !

[mango]

Merci pour ce post DolphinAtlantica. Idem que pour le post proposé en français, je serais ravie d'y participer mais pas avant début septembre.

A bientôt

Mango

[pupuce31]

Merci beaucoup DolphinAttlantica et Dominique pour votre aide au sujet de la base 3