Opérations sur les nombres

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Je mets en place un post référant au second chapitre de mathématiques (programme du BO) ...

Nous pourrions, si vous le voulez, construire ici une trame de cours nous permettant de travailler sur le long terme les notions sous jacentes en participant activement (prise de notes, questions, exercices ou autres sont bienvenus ...)

CHAPITRE 2

Opérations sur les nombres

[KiKiF]

En vrac et donc à revoir avant d'aller me coucher ...

• addition
  commutative, associative, élément neutre 0
  La technique opératoire de l'addition est fondée :
  - d'une part, sur les principes de la numération de position dans une base donnée
  - d'autre part, sur les propriétés des opérations dans N.
  
• soustraction
  inversse de l'addition
  dans ensemble N avec a > b.
  - dans la suite des nombres, la différence a-b est égale au nombre atteint en comptant b
  nombres « avant » le nombre a.
  -a-b peut être défini comme ensemble, a représente le nombre d’élément de l’ensemble A et b celui du
  sous ensemble B. a-b est le nombre d’éléments de l’ensemble complémentaire de B par rapport à A.
  -a-b est défini selon une addition, a est supérieur ou égal à b, a-b est donc la solution de l’equation
  b+x=a ce qui équivaut à a-b=x.
  Erreurs fréquentes :
  • Problème dans la disposition du calcul en colonnes
    
  • Erreurs dans les retenues
    
  • Erreurs sur chaque unité 54-37 = 23
    
  • difficulté dans l’interprétation du 0 : 40-37 = 17
    
  • difficultés par rapport à l’énoncé du problème
    

  [*]multiplication

  commutative, associative, élément neutre 1

  Multiplier un nombre a par un nombre b, c'est faire la somme d'autant de nombres égaux à a qu'il y a d'unités dans b :

  bxa = a+a+a+a+ ....+a bfois

  [*]division

Règle générale :

Dans un calcul avec plusieurs opérateurs, j'effectuerai dans l'ordre :

1. Les multiplications

2. Les divisions

3. Les additions et les soustractions (dans l'ordre qui me plaît, les 2 opérations n'ayant aucune propriété de priorité l'une sur l'autre)

[Dominique]

Dans un calcul avec plusieurs opérateurs, j'effectuerai dans l'ordre :

1. Les multiplications

2. Les divisions

Les multiplications ne sont pas prioritaires par rapport aux divisions.

Exemple :

24 : 6 × 2 vaut 4 × 2 (soit 8) et pas 24 : 12 (soit 2).

3. Les additions et les soustractions (dans l'ordre qui me plaît, les 2 opérations n'ayant aucune propriété de priorité l'une sur l'autre).

Si les opérations ont le même ordre de priorité on effectue les opérations de gauche à droite (et donc pas dans l'ordre qu'on veut ...).

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Quelques procédures de calcul en ce qui concerne les problèmes d'équipotence ou de comparaison de collections

Ils peuvent se résoudre sans utilisation des nombres lorsque tous les objets sont présents :

- La correspondance terme à terme qui présente plusieurs difficultés :

~> Les deux collections doivent être proches l'une de l'autre

~> Les éléments de collection peuvent ne pas être déplaçables

~> Certains objets sont trop mobiles

Ces difficultés amènent les maîtres à proposer aux élèves des outils de mise en correspondance (bandes quadrillées ...)

- L'estimation : évolution approximative qui donne un ordre de grandeur / le subitizing : reconnaissance immédiate de la quantité sans dénombrement explicite (petites collections, configurations géométriques telle que la constellation de dé ou des cartes à jouer)

En ce qui concerne l'utilisation de la numération :

- Le dénombrement

- Le recomptage

- Le décomptage

- Le surcomptage

=> Recours à un algorithme (techniques opératoires)

=> Recours à un outil automatique de calcul (calculatrice)

=> Recours au calcul réfléchi

Les variables didactiques :

- Au niveau des collections

Eloignement ou proximité des collections à comparer ou construire

Taille de chaque collection

- Au niveau des éléments des collections

Mobilité

Disposition

Dimensions

- Au niveau des nombres en présence

Domaines numériques

Ecart entre les nombres (on peut utiliser le surcomptage pour ajouter 67 et 5 mais non pas pour ajouter 63 et 67)

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La question du calcul

Une part essentielle de l'activité réside dans la recherche de la compréhension et de la justification des techniques (opératoires) utilisées, ce qui conduit un peu à retarder la mise en place des techniques usuelles.

Commencer tôt à résoudre des problèmes permet :

- d'augmenter le temps d'apprentissage, de surmonter progressivement les obstacles

- d'éviter de développer des réflexes du type " choisir la bonne opération"

- de favoriser la prise en compte d'un accès différencié à la maîtrise experte de l'opération qui vient clore la progression.

L'école élémentaire est en charge de l'apprentissage des techniques opératoires mais l'enfant doit construire cet apprentissage et non l'apprendre !

=> Importance de la résolution de problème dans la construction et l'appropriation de nouvelles connaissances

=> Il est judicieux de proposer des problèmes relevant des différentes opérations : seule la technique opératoire de l'addition est exigée en fin de cycle II : une exigence précoce de formalisation des solution constitue une source d'obstacles ("automathismes") : les élèves cherchent à produire cette écriture mathématique à partir de la formulation verbale du problème en s'appuyant sur des mots inducteurs en passant à côté de la phase essentielle de représentation de la situation proposée.

=> Une grande importance est accordée à la diversité des outils de calcul : il faut accepter et favoriser la pluralité des procédures de résolution.

Pour toutes les opération, on travaille :

1/ sur le sens de l'opération : identification de l'opération à effectuer

2/ sur le sens des écritures : sommes, différences, produits et quotients

3/ sur la technique opératoire

La mise en oeuvre d'un calcul écrit suppose plusieurs types de connaissances relatives à des résultats mémorisés, à la numération et aux propriétés des opérations mises en jeu.

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Le calcul mental automatisé ou réfléchi

Il faut distinguer ce qu'il faut mémoriser ou automatiser (les tables, quelques relations arithmétiques) de ce qu'il faut être capable de reconstruire (ce qui relève du calcul réfléchi : idée de rendre plus simple un calcul, calcul intelligent qui adapte les procédures de calcul en fonction des nombres en présence)

Cf. concernant le calcul mental :

http://www.jlsigrist.com/calcul.html : un cours

http://www.eduscol.education.fr/D0048/calcul_mental.pdf : document d'accompagnement à télécharger

http://perso.orange.fr/jean-luc.bregeon/Ca...hiers/frame.htm : comment améliorer les capacités des élèves (diaporama 50 pages)

Le calcul instrumenté

Dès le cycle II, il est possible de prévoir la mise en place de calculatrices pour les élèves ; elles sont utilisées comme moyen de calcul (lorsque l'élève a déterminé les calculs nécessaires mais n'est pas capable de les exécuter assez rapidement avec une bonne fiabilité).

La calculatrice est aussi un outil de différenciation mis à la disposition des élèves qui ont des difficultés pour effectuer eux-mêmes les calculs nécessaires.

Au cycle III, la calculatrice doit devenir un outil de calcul banalisé.

Son utilisatin nécessite un apprentissage !

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http://www.gilles-jobin.org/maths/gsm111/accueil.htm : les quatre opérations sur les nombres entiers

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up

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Le calcul dans les programmes en cycle II

Les connaissances dans le domaine du calcul concernent :

- Les tables d'addition : construction, utilisation, mémorisation

- Les compléments à la dizaine immédiatement supérieure

- Les tables de multiplication : construction, utilisation, début de mémorisation, multiplication par 10

- La technique opératoire de l'addition

- Le calcul réfléchi : organisation et traitement de calculs additifs, soustractifs et multiplicatifs, mentalement ou avec l'aide de l'écrit

- Utilisation des calculatrices

Le calcul dans les programmes en cycle II

Les connaissances relatives au calcul concernent :

- La mémorisation de résultats sur les nombres entiers et décimaux

- Les techniques opératoires : addition, soustraction de nombres entiers et décimaux, multiplication de deux nombres entiers ou d'un nombre décimal par un nombre entier, division euclidienne de deux nombres entiers (quotient et reste)

- Le calcul réfléchi exact ou approché : organisation et traitement de calculs (mentalement ou avec l'aide de l'écrit), ordre de grandeur d'un résultat

- Utilisation de calculatrices et maîtrise de certaines de leurs fonctionnalités.

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L'addition

Seule la technique opératoire de l'addition est exigée en fin de cycle II

L'enfant doit pourtant être capable de traiter des problèmes relevant de chacune des opérations sans pour autant mettre en oeuvre des algorithmes de calcul sophistiqués. On peut donner des problèmes relevant d'une opération avant que cette opération ne soit étudiée. L'élève développe alors des procédures personnelles qui le conduisent à la solution.

L'addition est une opération qui à tout couple d'entier (a,b) associe un entier noté a + b

Elle cumule :

- l'associativité

- la commutativité

- la conservation de l'ordre

L'élément neutre est 0.

Deux interprétations de l'addition

1/ Forme ordinale :

La somme a + b est le nombre obtenu lorsque l'on applique la "translation +b" au nombre a.

Elle est le nombre obtenu en comptant b nombres en partant du successeur de a

Cela suppose la connaissance de la suite des nombres entiers, la comptine numérique

Positionnement sur la droite

2/ Forme cardinale :

La somme a + b est le cardinal de la réunion de deux ensembles disjoints de cardinaux respectifs a et b

Les patates

Apprentissage de l'addition en école élémentaire

- Premiers problèmes additifs : anticipation sur le résultat de certaines transformations

- Introduction du signe + dans des situations évoquant l'accroissement d'une grandeur ou la réunion de quantité

- Les décompositions additives

- Les premiers calculs réfléchis

- Additionner des dizaines

- Technique de l'addition sans retenue

- Technique de l'addition avec retenue et réinvestissement de groupement et d'échange de base 10

Quelques difficultés

- Fonctionnement colonne par colonne ne donnant pas de signification aux différents chiffres : problème au niveau de la numération et de son sens

- Erreur de calcul ou de mémorisation, maîtrise insuffisante des tables

- Addition mal posée

- Absence de retenue

- Présence inutile de retenue

Les variables didactiques

- Choix des nombres : recours au dessin, au calcul

- Usage de la retenue

- Configuration des nombres (nombres ronds)

- Mises à disposition d'outils de calcul

http://perso.orange.fr/yoda.guillaume/Voca...sA/Addition.htm

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La soustraction

La soustraction est une opération qui à tout couple d'entiers (a,b) avec a supérieur à b associe un entier noté a - b et appelé différence entre a et b.

Deux interprétations de la soustraction

1/ Forme ordinale

La différence a - b est le nombre obtenu lorsqu'on applique la translation - b au nombre a

2/ Forme cardinale

La différence a - b est le cardinal du complémentaire d'un ensemble de b éléments dans un ensemble de a éléments (addition à trou)

Apprentissage de la soustraction en élémentaire

- Introduction du signe - à l'issue d'un problème évoquant la recherche de l'état final dans une transformation négative

- Lien avec l'addition à trous avec les problèmes de recherche de compléments

- Résolution de problèmes par des procédés de calcul réfléchi

- Technique opératoire par emprunt

- Propriété de l'écart constant

- Technique opératoire usuelle

=> Méthode anglo-saxonne par "emprunt" : restructuration du grand nombre pour éviter la présence de retenue

=> Méthode usuelle par "compensation" : propriété de l'écart constant

Quelques difficultés

- Soustraction mal posée, mauvais alignement et problème d'écriture

- Calcul chiffre à chiffre, écart non orienté

- Oubli de la retenue ou mise en place de retenue parasite

- Présence du zéro

- Erreurs de table, mémorisation

- Erreur des écarts non orientés pour éviter le problème de la retenue

Variables didactiques

- Choix des nombres

- Usage de la retenue

- Configuration des nombres

- Mise à disposition d'outils de calcul

Quelques remarques

Donner aux élèves des outils de vérification (qui pourront différer en fonction de la technique utilisée) :

- L’addition

- Le saut de puces en avançant ou en reculant,

- Le résultat est-il inférieur au nombre de départ ?

http://www.jlsigrist.com/soustraction7.html

http://www.e-calcul.com/souslec.htm

http://www.gilles-jobin.org/maths/gsm111/soustraction.htm

http://www.recreomath.qc.ca/am_soustraction.htm

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Le champ additif

Le champ additif, selon la typologie de GERARD VERGNAUD, recouvre l'ensemble des problèmes relevant d'une addition, d'une soustraction ou d'une combinaison de deux opérations ainsi que l'ensemble des procédures et des représentations susceptibles d'être mises en oeuvre.

La difficulté d'un problème ne réside pas dans l'opération que requiert sa résolution. Les problèmes relevant du champ additif recouvrent des traitements de relation fort différents et il faut de longues années pour dominer complétement le champ additif : apprentissage qui s'inscrit dans la durée !

- Transformation d'un état

- Composition de deux états

- Comparaison d'états

- Composition de transformations

Typologie de Vergnaud

Catégorie 1

ex : Julien a 8 billes rouges et 9 billes vertes. Combien a t'il de billes au total?

--> situation non évolutaive

Catégorie 2

ex : Jacques avait 7 billes, Il en a gagné 5. Combien en a t'il maintenant?

--> situation évolutive

Catégorie 3

ex : Bernard possède 25 petites voitures. Il en a 5 de plus que Charles. Combien Charles en a t'il?

--> situation non évolutive

Catégorie 4

ex : Aujourd'hui, je sais que j'ai dépensé 56€. Ce matin, j'ai dépensé 24€. Combien en ai-je dépensé cet après midi?

--> situation évolutive

Les problèmes de transformation d’états :

On a un état initial qui subit une transformation pour aboutir à un état final. On connaît deux éléments et on en cherche un troisième.

Ex : Paul a 19 billes, on lui en donne 10 ; combien a t-il alors de billes ? ; contexte cardinal avec transformation positive

Ex : : Paul a 19 billes, il en perd 10 ; combien a t-il alors de billes ? ; contexte cardinal avec transformation négative

Les problèmes de combinaison d’états :

Deux états se réunissent pour composer un troisième état. On dispose de deux éléments et on cherche le troisième

Ex : dans un bouquet, il y a 6 roses et 5 tulipes, combien y a t-il de fleurs ?

Les problèmes de comparaison :

Il s’agit de donner l’écart entre deux états, l’écart peut être positif ou négatif

Ex : Paul a 29 billes, Louise en a 39, combien Louise a t’elle de billes de plus que Paul ?

Les problèmes de composition de transformation :

Deux transformations se composent pour en former une troisième, on ne connaît ni l’état initial, ni l’état final, ni l’état intermédiaire. Les transformations peuvent être soit positive, soit négative. On en connaît deux, il faut trouver la troisième.

http://www.isorgue.ien.84.ac-aix-marseille...bs_additifs.pdf