Mathématiques

[winnisa]

Bonjour,

J'ai un problème (et voui....)

Le but de cet exercice est de montrer que pour tout couple (A,B ) d'entiers naturels cérifiant B#0, il existe des entiers naturels Q et R, tels que

A=B x Q - R

R < B

1- Exemples numérique. Démontrer que dans chacun des cas suivants il est possible de trouver un couple (Q,R) d'entiers naturels tel que A = B x Q - R et R < B.

a) A=108 et B=7

b ) A=267 et B=13

c) A=57 et B=3

2- D'une façon générale, démontrere que pout tout couple (A,B ) appartenant à NxN*, il existe un couple (Q,R) d'entiers naturels tel que A=BxQ-R et R<B (on pourra si on le souhaite, utiliser le quotient et le reste de la division de A par B )

Bon, pour le 1, je trouve les solutions...Mais ne démontre pas En fait je trouve par tatonnement.....

Pour le 2... ben : C'est presque la définition de la division euclidienne... mais c pas la déf....

OSKOUR

[winnisa]

Bon, je viens de trouver une piste en faisant mon ménage :

si on fait A/B, on trouve un résultat que l'on peut appeler q

On appelle Q, l'entier naturel immédiatement supérieur à q.

On peut alors trouver un entier naturel R tel que R<B et A=BQ-R

ex..: A/B = 108/7 = 15,43 = q

on a Q=16

et on trouve R=4

Est ce que c ça??? Si oui, comment l'expliquer correctement?

[Eric]

Salut Winnisa, je pense qu'il faut comme tu l'évoques partir de la définition de la division euclidienne:

pour tout couple (A,B ) d'entiers naturels B#0, il existe des entiers naturels q et r, tels que

A = B x q + r avec r < B

Pour démontrer le problème, il suffit que tu trouves une ( ou des ) relation(s) entre q , r , Q et R.

Bon courage ...

Eric

[winnisa]

Merci Eric

je me sers pas de r ....

Je ne trouve pas de relation... car soit il faut faire r+1 et soit r-1 ..????

[Dominique]

Indication :

Si on a 108 bonbons à partager équitablement entre 7 enfants et qu’on cherche à donner le maximum de bonbons aux enfants, on en donnera 15 à chacun et il restera 3 bonbons qui n’auront pas été partagés. On peut donc écrire :

108 = 7 × 15 + 3 et 3 < 7 (remarques : il s’agit des deux relations définissant la division euclidienne de 108 par 7 ; la relation 3 < 7 exprime le fait qu’on a cherché à donner le maximum de bonbons aux enfants).

Mais on peut aussi aller chercher 4 bonbons supplémentaires dans la réserve de bonbons (il y a toujours une réserve de bonbons quelque part, non ?). On pourra alors donner 16 bonbons à chacun des enfants. On peut donc écrire :

108 = 7 × 16 – 4 (le – 4 correspond aux bonbons qu’on a pris dans la réserve)

et 4 < 7 (4 a été trouvé en cherchant ce qu’il fallait ajouter au reste r, égal à 3, pour arriver à 7 et, de façon générale, si un nombre r est compris entre 0 et 7 alors le nombre 7 – r est lui aussi compris entre 0 et 7).

[Eric]

c'est presque ça sauf que c'est plutot q qu'il faut transformer en q + 1 :

Si tu poses Q = q + 1, tu peux faire apparaître Q dans la définition de la division euclidienne ( A = B x q + r ET r < B ) , tu vas alors pouvoir écrire une équation qui sera presque de la forme

A = B x Q - R . Il faudra alors écrire R = ???

[Eric]

quand je disais ' c'est presque ça ' je répondais à winnisa

[winnisa]

Merci merci!!!!

On a

r + R = B (histoire des bonbons)

et

A = Bq + r (division euclidienne)

donc

A - Bq + R = B

R = B - A + Bq

R = B (1+q) - A

On a Q=q+1 (faut le demontrer aussi???)

D'ou R = BQ - A

Donc A = BQ - R

[winnisa]

Bon, je viens de relire le tout...

Donc je pense arriver a démontrer ce qui est demandé mais mais mais...

Je ne démontre pas que Q=q+1 et que r+R=B

Tout ça je l'affirme... donc c pas bon? cryin

[Eric]

Il faut que tu précises que quelque soit q entier naturel, il existe un entier naturel Q tel que Q = q + 1.

De même, quelque soit r et B entiers naturels, B différent de zéro, il existe un entier naturel R tel que R = B - r.

C'est cela qui valide ta démonstration.

Comme quoi on arrive à tout avec des bonbons et des divisions euclidiennes

[winnisa]

Merci beaucoup Eric et Dominique de vous etes donné de la peine pour moi

[Eric]

J'oubliais, dans l'énoncé , R < B ( et non pas R <= B )

Donc il faut préciser que si A et B sont tels que le reste de la division euclidienne de A par B, r, est égal à zéro, alors Q = q et R = 0.

Pour résumer :

Quelque soient A et B, deux entiers naturels tels que B différent de zéro, il existe deux entiers naturels q et r tels que A = B x q + r et r < B. ( c'est ce qui défini la division euclidienne )

Si r = 0, il existe Q et R tels que Q = q et R = r et on peut alors poser A = Q x B - R

Si r différent de zéro, il existe Q et R tels que Q = q + 1 et R = B - r et on peut alors poser A = Q x B - R

à plus

Eric