Notions de proportionnalité (fonction linéaire)

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Je mets en place un post référant au 3ème chapitre de mathématiques ...

Nous pourrions, si vous le voulez, construire ici une trame de cours nous permettant de travailler sur le long terme les notions sous jacentes en participant activement (prise de notes, questions, exercices ou autres sont bienvenus ...)

CHAPITRE 3

Notions de proportionnalité (fonction linéaire)

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La proportionnalité relève du champ multiplicatif (Cf. Vergnaud)

Les programmes évoquent une première approche de la proportionnalité fondée sur la reconnaissance des situations de proportionnalité dans des cas simples et l'utilisation de tableaux, diagrammes, graphiques : en terme de compétences, l'élève doit être capable en fin de cycle III de reconnaître une situation de proportionnalité et la traiter par les moyens de son choix (utilisation de graphiques, tableaux de nombres)

Deux suites de nombres ayant le même nombre de termes sont dites "proportionnelles" si on peut passer de l'une à l'autre par un même opérateur multiplicatif : le coefficient de proportionnalité

(On ne dit JAMAIS qu deux nombres sont proportionnels !)

On peut traduire la proportionnalité de différentes manières :

- la fonction linéaire de coefficient a est la fonction qui pour tout nombre x fait correspondre le nombre y tel que y = ax (une fonction linéaire est représentée graphiquement par une droite qui passe par l'origine)

- la propriété de linéarité additive

- la propriété de linéarité multiplicative

- la propriété des rapports égaux

- la propriété des produits en croix

3 cadres :

- cadre algébrique : formule

- cadre numérique : tableau

- cadre graphique : représentation

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La fonction affine

On définit une fonction affine de coefficient a et de valeur d'origine b en associant à tout nombre x le nombre ax +b

f(x) = ax + b

Toute fonction affine est représentée par une droite.

Le nombre b est l'ordonnée du point d'abcisse x = 0 (c'est la valeur à l'origine)

Cas particuliers :

- Si b = 0 alors f(x) = ax et f est une fonction linéaire, sa représentation graphique passe par l'origine

- Si a = 0 alors f(x) = b et f est une fonction constante : tous les points ont la même ordonnée b et la représentation graphique est une droite parallèle à l'axe des abcisses.

La fonction linéaire

Toute fonction linéaire est une fonction affine particulière

On définit une fonction linéaire de coefficient a quand à tout nombre x on associe le produit ax

f(x) = ax

Une fonction linéaire est la traduction d'une situation de proportionnalité. La représentation d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère. Le coefficient a se retrouve sur le graphique comme ordonnée du point d'abcisse x = 1

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La proportionnalité simple

a) Les problèmes multiplicatifs et les problèmes de division

Lorsque l'un des termes apparaissant dans le tableau de proportionnalité est égal à 1, la situation relève d'une multiplication ou d'une division

- Raisonnement portant sur le coefficient de proportionnalité entre les deux variables

- Raisonnement portant sur une variable scalaire (nombres associés à une même variable)

b) Les problèmes de recherche de "quatrième de proportionnelle"

- Raisonnement portant sur une relatioon scalaire (propriétés de linéarité de la fonction numérique sous jacente de type additif, multiplicatif ou mixte)

- Raisonnement portant sur le coefficient de proportionnalité

La proportionnalité simple composée

Il s'agit de problèmes de proportion simple résultatnt de la composition d'au moins deux relations de proportionnalité simple > La difficulté réside essentiellement dans l'organisation des données à mettre en relation puis dans le choix et la combinaison des résultats intermédiaires.

La proportionnalité multiple

Il s'agit de problèmes dans lesquels une grandeur est simultanément proportionnelle à plusieurs grandeurs indépendantes

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Un cours de l'iufm de la Réunion sur la proportionnalité :

Cours 1 : http://www.reunion.iufm.fr/dep/mathematiqu...ropCours_CR.pdf

Cours 2 : http://www.reunion.iufm.fr/dep/mathematiqu...opCours_JCL.pdf

Cours 3 : http://www.reunion.iufm.fr/dep/mathematiqu...ropCours_GR.pdf

Agrandissement, Réduction : http://www.reunion.iufm.fr/dep/mathematiqu...dReduct_JCL.pdf

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Quelques choix pédagogiques concernant l'enseignement de la proportionnalité

- Priorité au raisonnement contextualisé et verbalisé : faire fonctionner la proportionnalité comme outil dans la résolution de problèmes

- Eviter les formalisations trop précoces

3 types de procédures peut être mises en oeuvre dès l'école primaire :

1) l'utilisation des propriétés additives et multiplicatives de la linéarité

2) la mise en évidence et l'utilisation du coefficient de proportionnalité

3) le recours à une représentation graphique

Les variables didactiques

- Présentation de l'énoncé (tableau, texte ...)

- Nature des grandeurs mises en jeu qui peuvent ou non faciliter l'interprétation du coefficient de proportionnalité

- Les relations arithmétiques entre les nombres donnés qui facilitent ou non les propriétés de linéarité et leur utilisation

- Le nombres de couples choisis

- Le cadre de résolution : géométrique (agrandissement ou réduction d'une figure) ou numérique (les pourcentages)

Quelques difficultés courantes chez les élèves

- Identification du modèle de proportionnalité (proposition de diverses situations pour exercer la vigilance des élèves quant au choix de la solution)

- La traduction d'un énoncé sous forme de tableau

- Le choix d'une procédure

- Remplir un tableau comme s'il était de proportionnalité sans s'en être assuré

- Les agrandissements et réductions

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Cf aussi en lien avec cette thématique :

- les pourcentages

- les échelles

- la vitesse

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Comment résoudre un problème de proportionnalité ?

6m de tissu coûtent 21€

Quel est le prix de 9m de tissu ?

=> Recherche d'une quatrième de proportionnalité

- utilisation des propriétés de linéarité

9 = 6 + 3 donc le prix est de 21 + 10,5 = 31,5€

- recherche du coefficient de proportionnalité

9 x 3,5 = 31,5

- passage à l'unité

(21 x 9) / 6 = 31,5

- utilisation du rapport sclaire

6m = 21€

9m =

- utilisation des rapports égaux

6x = 21 x 9

- les produits en croix

- le graphique

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Merci DolphinAtlantica pour tout ton travail qui est phénoménal sur ce forum.

J'ajoute la notion de proportionnalité dans les programmes:

Doc d'application maths (cycle3)

Fiche : Exploitation de données numériques

Problèmes relevant des quatre opérations

– Résoudre des problèmes en utilisant les connaissances sur les nombres naturels et décimaux et sur les opérations étudiées.

Proportionnalité

– Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité, en utilisant des raisonnements personnels appropriés (dont des problèmes relatifs aux pourcentages, aux échelles, aux vitesses moyennes ou aux conversions d’unités).

Organisation et représentation de données numériques

– Organiser des séries de données numériques (listes, tableaux…).

– Lire, interpréter et construire quelques représentations : diagrammes, graphiques.

Doc d'application maths(cycle 2)

Exploitation de données numériques

■ Problèmes résolus en utilisant une procédure experte

– utiliser le dénombrement pour comparer deux quantités ou pour réaliser une quantité égale à une quantité donnée,

– utiliser les nombres pour exprimer la position d’un objet dans une liste ou pour comparer des positions,

– déterminer, par addition ou soustraction, le résultat d’une augmentation,d’une diminution ou de la réunion de deux quantités,

– déterminer, par addition ou soustraction, la position atteinte sur une ligne graduée à la suite d’un déplacement en avant ou en arrière,

– déterminer, par multiplication, le résultat de la réunion de plusieurs quantités ou valeurs identiques.

■ Problèmes résolus en utilisant une procédure personnelle

– dans des situations où une quantité (ou une valeur) subit une augmentation ou une diminution, déterminer la quantité (ou la valeur) initiale, ou trouver la valeur de l’augmentation ou de la diminution,

– déterminer une position initiale sur une ligne graduée, avant la réalisation d’un déplacement (en avant ou en arrière) pour atteindre une position donnée ou déterminer la valeur du déplacement,

– dans des situations où deux quantités (ou valeurs) sont réunies, déterminer l’une des quantités (ou l’une des valeurs),

– dans des situations où deux quantités (ou deux valeurs) sont comparées, déterminer l’une des quantités (ou l’une des valeurs) ou le résultat de la comparaison,

– dans des situations de partage ou de distribution équitables, déterminer le nombre total d’objets, le montant de chaque part ou le nombre de parts,

– dans des situations où des objets sont organisés en rangées régulières, déterminer le nombre total d’objets, le nombre d’objets

par rangées ou le nombre de rangées,

– dans des situations où plusieurs quantités (ou valeurs) identiques sont réunies, déterminer la quantité (ou la valeur) totale, l’une des quantités (ou des valeurs) ou le nombre de quantités (ou de valeurs).