Arithmétique

[lorien]

Voici 2 exos qui me posent problème (ce sont des exos de concours):

1)"Démontrer qu'un nombre est un carré parfait si et slt si il admet un nombre impair de diviseurs."

je sais qu'un carré parfait est un entier naturel multiplié par lui-même;

Soit n^2 le carré parfait de n.

Est-ce que ça suffit de dire alors que comme le nombre de diviseurs de n^2 est 3 ( n^2 + 1), alors le nombre de diviseurs d'un carré parfait est impair ? (humm c'est pas terrible comme démonstration ).

2)

"Quels sont les nombres inférieurs à 10 qui possèdent exactement 3 diviseurs ? Il n'est pas nécessaire de justifier.

"Je suis un nombre à 3 chiffres dont la somme vaut 13 et je possède exactement 3 diviseurs. Qui suis-je ?" Trouver ce nombre en expliquant la démarche.

Moi j'ai du mal à expliquer la démarche justement...

Merci à ceux qui voudront bien m'eclairer.

[Jedi]

je sais qu'un carré parfait est un entier naturel multiplié par lui-même;

M'est avis que ce n'est pas cela un carré pafait ; Par exemple 81 possède seulement 4 diviseurs : 81, 9, 3, 1.

EDIT : Ops, j'ai rien dit, y'a aussi 27

Ne sachant pas ce qu'est un carré parfait, par conte, désolé, je ne pourrais pas t'aider. Même si je pense que ce genre de questions appelle à l'utilisation de suite.

"Quels sont les nombres inférieurs à 10 qui possèdent exactement 3 diviseurs ? Il n'est pas nécessaire de justifier.

9 et 4.

Pour la suite, trop compliqué à cette heure tardive :P

[lorien]

"Quels sont les nombres inférieurs à 10 qui possèdent exactement 3 diviseurs ? Il n'est pas nécessaire de justifier.

9 et 4.

Pour la suite, trop compliqué à cette heure tardive :P

Et 6 aussi.

[ptilou]

Voici 2 exos qui me posent problème (ce sont des exos de concours):

1)"Démontrer qu'un nombre est un carré parfait si et slt si il admet un nombre impair de diviseurs."

2) "Quels sont les nombres inférieurs à 10 qui possèdent exactement 3 diviseurs ? Il n'est pas nécessaire de justifier.

3) "Je suis un nombre à 3 chiffres dont la somme vaut 13 et je possède exactement 3 diviseurs. Qui suis-je ?" Trouver ce nombre en expliquant la démarche.

2)

4 (4,2,1)

9 (9,3,1)

3) Le nombre à trouver possède exactement 3 diviseurs. Comme tout nombre naturel il est divisible par lui même et par 1, c'est un carré parfait d'après 1). Il s'ecrit donc n*n, n etant un nombre premier (sinon, n*n serait aussi divisible par un diviseur de n différent de n et de 1)

On va donc chercher n pour trouver n*n. Pour que n*n soit un nombre à trois chiffres, il faut que n soit compris entre 10 (10*10=100) et 31 (31*31=961). Les nombres premiers compris entre 10 et 32 sont: 11,13,17,19,23,29,31

On essaye 11*11=121 (la somme des chiffres est 1+2+1=4) -> NON

13*13=169 (1+6+9=16) -> NON

17*17=289 (2+8+9=19) -> NON

19*19=361 (3+6+1=10) -> NON

23*23=529 (5+2+9=16) -> NON

29*29=841 (8+4+1=13) -> OUI

31*31=961 (9+6+1=16) -> NON

Le nombre cherché est 841

[Grael]

1)"Démontrer qu'un nombre est un carré parfait si et slt si il admet un nombre impair de diviseurs."

Pfiou... C'est chaud ton truc là...

C'était au concours???

j'ai trouvé cette démonstration compréhensible sur un forum de math

http://www.forum.math.ulg.ac.be/viewmessag...9274&ord=11

Y sont forts ces belges!

[lorien]

1)"Démontrer qu'un nombre est un carré parfait si et slt si il admet un nombre impair de diviseurs."

Pfiou... C'est chaud ton truc là...

C'était au concours???

j'ai trouvé cette démonstration compréhensible sur un forum de math

http://www.forum.math.ulg.ac.be/viewmessag...9274&ord=11

Y sont forts ces belges!

Ben oui, c'était un exo posé en 2003 à Amiens.

Bon j'ai rien compris avec les belges

je précise que le 1 et le 2 ne sont pas liés.

[Charivari]

Ben si, 1 et 2 sont liés : le 1 indique que le nombre cherché au 2 est un carré parfait !

[Dominique]

Ben oui, c'était un exo posé en 2003 à Amiens.

En fait l'énoncé exact de l'exercice posé à Amiens en 2003 était :

"a) Quels sont les nombres inférieurs à 10 qui possèdent exactement trois

diviseurs ? Il n'est pas nécessaire de justifier.

b) « Je suis un nombre à trois chiffres dont la somme vaut 13 et je possède

exactement trois diviseurs. Qui suis-je ? »

Trouver ce nombre (il est unique) en expliquant la démarche."

[Dominique]

"Démontrer qu'un nombre est un carré parfait si et slt si il admet un nombre impair de diviseurs."

[Dominique]

Voici 2 exos qui me posent problème (ce sont des exos de concours):

Soit n^2 le carré parfait de n.

Est-ce que ça suffit de dire alors que comme le nombre de diviseurs de n^2 est 3 ( n^2 + 1) [...]

Je suppose que tu as voulu écrire :

Est-ce que ça suffit de dire alors que comme le nombre de diviseurs de n^2 est 3 (car c'est 2 + 1) [...]

Mais de toute façon ce n'est pas 3.

Ce n'est pas parce qu'un nombre s'écrit n² que le nombre de diviseurs de ce nombre vaut 3.

On ne peut appliquer la formule donnant le nombre de diviseurs d'un nombre qu'après avoir écrit celui-ci comme un produit de nombres premiers.

[doudou]

Voici 2 exos qui me posent problème (ce sont des exos de concours):

1)"Démontrer qu'un nombre est un carré parfait si et slt si il admet un nombre impair de diviseurs."

2) "Quels sont les nombres inférieurs à 10 qui possèdent exactement 3 diviseurs ? Il n'est pas nécessaire de justifier.

3) "Je suis un nombre à 3 chiffres dont la somme vaut 13 et je possède exactement 3 diviseurs. Qui suis-je ?" Trouver ce nombre en expliquant la démarche.

2)

4 (4,2,1)

9 (9,3,1)

3) Le nombre à trouver possède exactement 3 diviseurs. Comme tout nombre naturel il est divisible par lui même et par 1, c'est un carré parfait d'après 1). Il s'ecrit donc n*n, n etant un nombre premier (sinon, n*n serait aussi divisible par un diviseur de n différent de n et de 1)

On va donc chercher n pour trouver n*n. Pour que n*n soit un nombre à trois chiffres, il faut que n soit compris entre 10 (10*10=100) et 31 (31*31=961). Les nombres premiers compris entre 10 et 32 sont: 11,13,17,19,23,29,31

On essaye 11*11=121 (la somme des chiffres est 1+2+1=4) -> NON

13*13=169 (1+6+9=16) -> NON

17*17=289 (2+8+9=19) -> NON

19*19=361 (3+6+1=10) -> NON

23*23=529 (5+2+9=16) -> NON

29*29=841 (8+4+1=13) -> OUI

31*31=961 (9+6+1=16) -> NON

Le nombre cherché est 841

Je ne comprends pas pourquoi on utilise des nombres premiers (ils ont simplement 2 diviseurs) pour trouver un nombre qui possède 3 diviseurs pour la question ) "Je suis un nombre à 3 chiffres dont la somme vaut 13 et je possède exactement 3 diviseurs. Qui suis-je ?" Trouver ce nombre en expliquant la démarche.

[Dominique]

Je ne comprends pas pourquoi on utilise des nombres premiers (ils ont simplement 2 diviseurs) [...]

Les nombres premiers ont effectivement deux diviseurs (1 et eux-mêmes) mais les carrés de nombres premiers (du type p²) ont trois diviseurs (1, p et p²).