Exercice sur la Division euclidienne

[agnesm]

Bonjour à tous !

Voici un exercice d'arithmétique à vous mettre sous la dent juste au cas où vous vous ennuyez ;-)))

1) Dans la division euclidienne d'un entier naturel a par 42, le quotient est q, nombre supposé connu, et le reste est 8.

2) Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne par 12 de a + 28, puis de a + 40 .

3) Quels sont les entiers naturels x pour lesquels le quotient de la division euclidienne par 42 de a + x est q + 1 ?

Dans la division euclidienne d'un entier naturel a par un entier naturel b, le quotient est 42 et le reste 8.

a) Quelle est la + petite valeur possible de a ?

b) Déterminer a et b pour que le reste de la division de a+3 par b soit égal à 0.

Bon courage à tous et à bientôt !

Agnès

[DANSE]

est il possible d avoir aussi le corrigé

merci

[Nävis]

Voici un exercice d'arithmétique à vous mettre sous la dent juste au cas où vous vous ennuyez ;-)))

1) Dans la division euclidienne d'un entier naturel a par 42, le quotient est q, nombre supposé connu, et le reste est 8.

2) Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne par 12 de a + 28, puis de a + 40 .

Un début de réponse pour le reste de la division par 12 de (a+28)

on a 28/12 = 12*2 + 4 (reste 4<12)

or le reste de (x+y)/12 est le reste de x/12 + reste de y/12 si celui-ci est <12 (sinon on refait la division de cette somme par 12)

ca donne donc : reste de (a+28)/12 => reste de a/12 = r=8et reste de 28/12=4 => 8+4=12 => on redivise par 12 et le reste est 0

pour le quotient par contre

Argh ! j'édite ! r est le reste de a/42 et pas a/12 !!!

mais je pense que la méthode est dans ce gout là !

[xtelle04]

Je pense qu'il faut partir avec la définition suivante :

1 veut dire que a=42xq+8

A partir de là, on doit pouvoir répondre. je me pense sur la question ce soir.

Qui trouvera?

Courage!

[manou2002]

moi aussi je suis partie sur cette relation mais avec deux inconnues c'est chaud!! voici une ébauche de raisonnement (Attention tout ce que je dis est peut etre faux)

a=bq+r donc

a=42q+8 et a+28=12q+r

on peut remplacer a par 42q+r ce qui nous donne la relation suivante:

42q+8+28=12q+r

42q+36=12q+r

42q-12q+36=r

30q+36=r

mais maintenant je me retrouve avec deux inconnues!!!

[Dominique]

Dans la division euclidienne d'un entier naturel a par 42, le quotient est q, nombre supposé connu, et le reste est 8.

Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne par 12 de a + 28, puis de a + 40 .

On sait que a = 42q + 8.

On en déduit :

- que a + 28 = 42q + 36 et donc, comme 36 < 42, que, dans la division euclidienne de a + 28 par 42 le quotient vaut q et le reste vaut 36

- que a + 40 = 42q + 48 donc que a + 40 = 42(q + 1) + 6 et donc, comme 6 < 42, que, dans la division euclidienne de a + 40 par 42 le quotient vaut q + 1 et le reste vaut 6.

L'astuce à consister à remplacer 42q + 48 par 42q + 42 + 6 puis à remplacer 42q + 42 + 6 par 42(q + 1) + 6 car on veut arriver à une écriture du type 42 × Q + R avec R< 42.

Quels sont les entiers naturels x pour lesquels le quotient de la division euclidienne par 42 de a + x est q + 1 ?

a + x = 42q + 8 + x donc a + x = 42(q + 1) - 42 + 8 + x donc a + x = 42(q + 1) - 34 + x

Le quotient dans la division euclidienne de a + x par 42 vaut donc q + 1 si 0 - 34 + x < 42 donc si 34 x < 76

Là on a utilise le fait que si on a une écriture du type A = B x (q + 1) + R, le quotient dans la division euclidienne de A par B est égal à q + 1 si 0 R < B

[manou2002]

Heu.... ba encore une fois j'ai rien compris.... desolée...

On doit pas chercher la valeur de q et de r?

[Dominique]

Dans la division euclidienne d'un entier naturel a par un entier naturel b, le quotient est 42 et le reste 8.

a) Quelle est la + petite valeur possible de a ?

On sait que a = b x 42 + 8 et 8 < b

La plus petite valeur possible pour a est 386 (correspond à b = 9).

b) Déterminer a et b pour que le reste de la division de a+3 par b soit égal à 0.

On sait que a = 42b + 8 donc a + 3 = 42b + 11

On doit avoir en plus a + 3 = b × q

On en déduit qu'on doit avoir : qb = 42b + 11 soit (q - 42) × b = 11.

Or 11 est un nombre premier et ne peut donc être écrit, comme produit de nombres entiers, que sous la forme 1 x 11.

Comme 8 < b c'est nécessairement b qui vaut 11 et q - 42 qui vaut 1.

On en déduit que b = 11 et q - 42 = 1

donc que b = 11 et q = 43

donc que b = 11 et a = bq - 3 = 43 x 11 -3 = 470

Conclusion : a = 470 et b = 11.

[Dominique]

On doit pas chercher la valeur de q et de r?

Non (d'ailleurs il est bien dit que q est supposé connu).

Ceci dit, ce genre d'exercice n'est pas très facile ...

[manou2002]

c pas encore cette fois-ci que je vais illuminer par mes connaissances en maths!! zut zut zut!!!

[Dominique]

On sait que a = 42q + 8.

Illustration : on sait que 42 enfants se sont partagé équitablement a bonbons, qu'ils en ont eu chacun q et qu'il en est resté 8.

On en déduit :

- que a + 28 = 42q + 36 et donc, comme 36 < 42, que, dans la division euclidienne de a + 28 par 42 le quotient vaut q et le reste vaut 36

Si les 42 enfants obtiennent 28 bonbons supplémentaires, avec les 8 bonbons qui restent ça fait 36 bonbons de plus à se partager. Il n'y en a pas assez. Chaque enfant a toujours q bonbons et il reste 36 bonbons.

- que a + 40 = 42q + 48 donc que a + 40 = 42(q + 1) + 6 et donc, comme 6 < 42, que, dans la division euclidienne de a + 40 par 42 le quotient vaut q + 1 et le reste vaut 6.

Si les 42 enfants obtiennent 40 bonbons supplémentaires, avec les 8 bonbons qui restent ça fait 48 bonbons de plus à se partager. Chaque enfant peut avoir un bonbon supplémentaire (et a donc q+1 bonbons) et il reste 6 bonbons.

a + x = 42q + 8 + x donc a + x = 42(q + 1) - 42 + 8 + x donc a + x = 42(q + 1) - 34 + x

Le quotient dans la division euclidienne de a + x par 42 vaut donc q + 1 si 0 - 34 + x < 42 donc si 34 x < 76

Les enfants ont chacun q + 1 bonbons et donc un bonbon supplémentaire chacun si le nombre de bonbons supplémentaires est compris entre 34 (inclu) et 76 (exclu) car alors, avec les 8 bonbons qui restent, ça fait entre 42 (inclu) et 84 (exclu) bonbons de plus à se partager.

[Dominique]

c pas encore cette fois-ci que je vais illuminer par mes connaissances en maths!! zut zut zut!!!

Il faut "jouer" avec la définition suivante :

dans la division euclidienne de a par b, q est le quotient et r est le reste si : a = bq + r ET 0 r < b.

Et, encore une fois, ce n'est pas facile et il est tout à fait normal que tu ais des difficultés...

Plus on fait d'exercices de ce type, mieux ça va ...