lorelei78 Posté(e) 2 avril 2007 Posté(e) 2 avril 2007 Ex2: 1°)Après avoir montré que 825 et 686 sont premiers entre eux, montrer que leur somme et leur produit sont premiers entre eux. 2°)Peut-on généraliser la propriété à tous les nombres premiers entre eux? Le corrigé détaillé de cet exercice m'intéresse.... Si quelqu'un sait faire... Merci. Salut ! Je m'incruste dans votre conversation...Sympa de faire des exercices en commun... Alors pour le 2°) moi j'ai décomposé en facteurs premiers les 2 nombres : 825 = 3 x 5 x 5 x 11 et 686 = 2 x 7 x 7. Il n'y a donc aucun facteur commun entre ces 2 nombres donc ils sont premiers entre eux. Etes-vous d'accord ?? Par contre pour la généralisation c'est plus compliqué pour moi....Boouuuh, c'est dur les maths !!!
nomade Posté(e) 2 avril 2007 Posté(e) 2 avril 2007 Salut !Je m'incruste dans votre conversation...Sympa de faire des exercices en commun... Alors pour le 2°) moi j'ai décomposé en facteurs premiers les 2 nombres : 825 = 3 x 5 x 5 x 11 et 686 = 2 x 7 x 7. Il n'y a donc aucun facteur commun entre ces 2 nombres donc ils sont premiers entre eux. Etes-vous d'accord ?? Par contre pour la généralisation c'est plus compliqué pour moi....Boouuuh, c'est dur les maths !!! 1°)Après avoir montré que 825 et 686 sont premiers entre eux, montrer que leur somme et leur produit sont premiers entre eux. 2°)Peut-on généraliser la propriété à tous les nombres premiers entre eux? Tu as oublié un 7 mais je trouve comme toi. 686 = 7 x 7 x 7 x 2 Ensuite, pour la somme, on a 825 + 686 = 1511 Pour le produit on a : 825 x 686 = 565950 Je pense que 1511 est un nombre premier, alors forcément ces deux nombres sont premiers entre eux Pour la généralisation, je sèche aussi....
bouchon24 Posté(e) 2 avril 2007 Posté(e) 2 avril 2007 je ne comprends pas bien votre raisonnement pour montrer que A est multiple de 3..ainsi que la suite de cet exercie . Si quelqu'un pouvez m'eclairer!! merci
Puck Posté(e) 2 avril 2007 Posté(e) 2 avril 2007 je ne comprends pas bien votre raisonnement pour montrer que A est multiple de 3..ainsi que la suite de cet exercie .Si quelqu'un pouvez m'eclairer!! merci Pour démontrer qu'un nombre est multiple de 3, il suffit de démontrer que la somme des chiffres qui composent ce nombre est multiple de 3. Si tu l'ignores, tu peux le redémontrer : A = 100 c + 10 d + u = (99 + 1) c + (10 + 1) d + u = 9 (11 c + d) + c + d + u 9 (11c + d) est divisible par 3 Pour démontrer que A est divisible par 3, il suffit de démontrer que c + d + u est divisible par 3. On sait depuis la résolution de la question 1 que u = d - 2 et c = d - 4. Donc c + d + u = d - 4 + d + d - 2 = 3 d - 6 = 3 (d - 2). c + d + u est multiple de 3 ==> A, B, C et D multiples de 3 J'en profite pour indiquer le raisonnement pour la dernière question : A multiple de 9 ==> c + d + u multiple de 9 ==> il existe un nombre entier n tel que c + d + u = 9n Or c + d + u = 3 (d - 2 ) (voir quelques lignes plus haut). Donc on cherche les solutions possibles à l'équation : 3 (d - 2) = 9 n Autrement dit, en simplifiant : d - 2 = 3n ==> d = 3n + 2 avec d < ou = à 9 En outre, d doit être supérieur ou égal à 4 car c = d - 4 et c > ou égal à 0 Deux valeurs conviennent : n = 1 ==> d = 5 et n = 2 ==> d = 8 En calculant les valeurs u et c en fonction de d, on obtient les deux nombres 153 et 486
Puck Posté(e) 2 avril 2007 Posté(e) 2 avril 2007 Pour la généralisation, je sèche aussi.... Exercice 2 Supposons que le produit et la somme de deux entiers a et b (premiers entre eux) puissent ne pas être premier entre eux. Dans ce cas, il existe deux nombres entiers n et x autres que 0 tels que : a + b = x n Si a et b sont premiers entre eux ==> a est multiple de x ou b est multiple de x (ou exclusif) Supposons que ce soit a qui soit multiple de x (dans ces calculs, a et b peuvent être intervertis. Donc il suffit de continuer la démonstration avec a) : il existe un nombre entier autre que O tel que a = xa' Donc a + b = xa' + b = nx ==> b = xn - xa' = x(n - a'). ==> b multiple de x ==> x commun multiple de a et b ==> a et b non premiers entre eux, ce qui est contraire aux hypothèses. Conclusion : le produit et la somme de deux nombres entiers premiers entre eux sont premiers entre eux.
varuna Posté(e) 2 avril 2007 Posté(e) 2 avril 2007 Pour la généralisation, je sèche aussi.... Exercice 2 Supposons que le produit et la somme de deux entiers a et b (premiers entre eux) puissent ne pas être premier entre eux. Dans ce cas, il existe deux nombres entiers n et x autres que 0 tels que : ATTENTION LA IL FAUT PRENDRE LA SOMME ET LE PRODUIT DE a et b a + b = x n Si a et b sont premiers entre eux ==> a est multiple de x ou b est multiple de x (ou exclusif) Supposons que ce soit a qui soit multiple de x (dans ces calculs, a et b peuvent être intervertis. Donc il suffit de continuer la démonstration avec a) : il existe un nombre entier autre que O tel que a = xa' Donc a + b = xa' + b = nx ==> b = xn - xa' = x(n - a'). ==> b multiple de x ==> x commun multiple de a et b ==> a et b non premiers entre eux, ce qui est contraire aux hypothèses. CETTE PARTIE EST JUSTE CERTES ( lemme chinois) MAIS LES HYPOTHESES NON !! dommage Conclusion : le produit et la somme de deux nombres entiers premiers entre eux sont premiers entre eux. donc a suivre supposons donc que, a et b etant premiers entre eux, a+b et ab ne le sont pas . donc a+b et ab ont un diviseur commun ( autre que 1) : X . supposons ( encore! :P ) que ce nombre X divise a ( donc pas b) , il doit donc diviser aussi a +b , soit a+b = entier+ b/X ce terme n'est pas entier car a et b sont premiers entre eux et donc X ne divise pas b . alors alors alors l'hypothese est fausse . et donc la somme et le produit sont premiers entre eux ! ciao ps nettement au dessus du niveau du concours
bridget Posté(e) 5 avril 2007 Posté(e) 5 avril 2007 Ex4: 1°)Le prix d'un article augmente de 25%. De quel pourcentage doit-il diminuer pour revenir à son prix initial?2°)Le prix d'un article diminue de 25%. De quel pourcentage doit-il augmenter pour revenir à son prix initial? Mon problème ici c'est que je n'arrive pas à démontrer autrement qu'en utilisant des chiffres et je ne pense pas que ce soit valable au concours. Si, je pense qu'on peut utiliser des nombres de cette façon : Soit P le prix initial, le prix augmenté de 25%=1,25P Prenons P=100, le prix augmenté de 25%=125 Soit x le pourcentage recherché x=100/125 x=0,8 Donc le pourcentage doit diminuer de 20% pour revenir à son prix initial P. Ma rédaction et mon raisonnement sont-ils bons ? Je ne comprends pas pourquoi 0,8 = 20%???????
celynett Posté(e) 5 avril 2007 Posté(e) 5 avril 2007 En fait, diminuer de a% c'est multiplier par 1-a/100 et augmenter de a% c'est multiplier par 1+a/100. Donc par exemple diminuer de 20% c'est multiplier par 1-20/100, c'est à dire multiplier par 0,8
Dominique Posté(e) 5 avril 2007 Posté(e) 5 avril 2007 Je ne comprends pas pourquoi 0,8 = 20%??????? 0,8 est bien évidemment égal à 80 % et pas à 20 %. Il ne faut pas confondre "deux types de pourcentages" : 1°) Les pourcentages "pour décrire une situation" : Exemple : Si dans une classe il y a 20 % de filles, on trouve le nombre de filles de la classe en multipliant le nombre d'élèves de la classe par 0,20. 2°) Les pourcentages "pour décrire une évolution" : Exemple 1 : si dans une école le nombre de filles de l'école augmente de 20 % entre deux années, on trouve le nombre de filles la deuxième année en multipliant le nombre de filles la première année par 1,20. (ce qu'on trouve en multipliant le nombre de filles la première année par 0,20 c'est le nombre de filles en plus et pas le nombre de filles la deuxième année) Exemple 2 : si dans une école le nombre de filles de l'école diminue de 20 % entre deux années, on trouve le nombre de filles la deuxième année en multipliant le nombre de filles la première année par 0,80. (ce qu'on trouve en multipliant le nombre de filles la première année par 0,20 c'est le nombre de filles en moins et pas le nombre de filles la deuxième année) Voir peut-être aussi : http://dpernoux.free.fr/Pourcen.pdf
sophieg Posté(e) 5 avril 2007 Posté(e) 5 avril 2007 Et pour...: "Ex1: Trouver, s'ils existent, les nombres entiers naturels a et b qui vérifient: PGCD(a;b)=13 et ab=196. Cela veut -il dire que a et b sont multiples de 13?" On n'y a pas répondu, je crois....?? Dominique?
Dominique Posté(e) 6 avril 2007 Posté(e) 6 avril 2007 Et pour...:"Ex1: Trouver, s'ils existent, les nombres entiers naturels a et b qui vérifient: PGCD(a;b)=13 et ab=196. Cela veut -il dire que a et b sont multiples de 13?" On n'y a pas répondu, je crois....?? Bonjour, Si c'est bien le bon énoncé, le problème n'a pas de solution car 196 n'est pas divisible par 13 (or 13 devrait être un diviseur de a et donc de a×b). Par contre, j'ai déjà vu cet énoncé : Trouver, s'ils existent, les nombres entiers naturels a et b qui vérifient: PGCD(a;b)=13 et ab=14196 Je résous dont l'exercice en prenant a × b = 14196 . Si on décompose 14196 en produit de nombres premiers, on trouve 14476 = 2² × 3 x 7 × 13². 13 est un diviseur de a et b donc un des facteurs 13 provient de la décomposition en nombres premiers de a et l'autre facteur 13 de la décomposition en nombres premiers de b. Comme 13 doit être le plus grand diviseur commun à a et b, on trouve toutes les solutions en cherchant toutes les manières de répartir les autres facteurs entre les décompositions de a et b qui ne font pas apparaître un même facteur autre que 13 dans les deux décompositions. D'où les solutions : a = 13 x 2² x 3 × 7 = 1092 et b = 13 (et bien sûr a = 13 et b = 1092) a = 13 x 2² x 3 = 156 et b = 13 x 7 = 91 (et bien sûr a = 91 et b = 156) a = 13 × 2² x 7 = 364 et b = 13 × 3 = 39 (et bien sûr a = 39 et b = 364) a = 13 x 2² = 52 et b = 13 x 3 x 7 = 273 (et bien sûr a = 273 et b = 52)
Messages recommandés
Créer un compte ou se connecter pour commenter
Vous devez être membre afin de pouvoir déposer un commentaire
Créer un compte
Créez un compte sur notre communauté. C’est facile !
Créer un nouveau compteSe connecter
Vous avez déjà un compte ? Connectez-vous ici.
Connectez-vous maintenant