Encore de la géométrie !

[ninie586]

Voilà un exercice avec sa correction, mais je n'arrive pas à comprendre la démonstration alors qu'effectivement je vois bien que P et R sont symétriques.

Si vous avez des explications ou une autre démonstration ...

Merci d'avance.

Sujet :

Soit C un cercle de centre O et de rayon 4 cm. [MN] est un diamètre de C.

La médiatrice du segment [MO] coupe le cercle C en P et R.

Démontrez que les points P et R sont symétriques par rapport à la droite (MN).

Correction :

On appelle s la symétrie orthogonale par rapport à la droite (MN).

On nomme Δ la médiatrice du segment [OM].

M, O et N étant sur la droite (MN) (invariante par s), on a s(M) = M, s(N) = N et s(O) = O.

De plus, l'image d'un cercle de centre O par s est un cercle de centre s(O) et de même rayon. Ainsi,

s© = C.

Et, une droite perpendiculaire à l'axe d'une symétrie orthogonale étant invariante, on a s(Δ) = Δ.

De s© = C et de s(Δ) = Δ on déduit que s(C ∩ Δ) = C ∩ Δ ou s({P, R}) = {P, R} puis, comme ni P

ni R ne sont sur l'axe de symétrie (i.e. ni P ni R ne sont invariants), on a : s(P) = R et s® = P. P et

R sont donc symétriques orthogonalement par rapport à la droite (MN).

[sbnette]

Voilà un exercice avec sa correction, mais je n'arrive pas à comprendre la démonstration alors qu'effectivement je vois bien que P et R sont symétriques.

Si vous avez des explications ou une autre démonstration ...

Merci d'avance.

Sujet :

Soit C un cercle de centre O et de rayon 4 cm. [MN] est un diamètre de C.

La médiatrice du segment [MO] coupe le cercle C en P et R.

Démontrez que les points P et R sont symétriques par rapport à la droite (MN).

Correction :

On appelle s la symétrie orthogonale par rapport à la droite (MN).

On nomme Δ la médiatrice du segment [OM].

M, O et N étant sur la droite (MN) (invariante par s), on a s(M) = M, s(N) = N et s(O) = O.

De plus, l'image d'un cercle de centre O par s est un cercle de centre s(O) et de même rayon. Ainsi,

s© = C.

Et, une droite perpendiculaire à l'axe d'une symétrie orthogonale étant invariante, on a s(Δ) = Δ.

De s© = C et de s(Δ) = Δ on déduit que s(C ∩ Δ) = C ∩ Δ ou s({P, R}) = {P, R} puis, comme ni P

ni R ne sont sur l'axe de symétrie (i.e. ni P ni R ne sont invariants), on a : s(P) = R et s® = P. P et

R sont donc symétriques orthogonalement par rapport à la droite (MN).

Quelle partie de la démo tu ne comprends pas exactement ?

[celynett]

Ne faut-il pas prouver + simplement que [MO] médiatrice de [PR] ?

[ninie586]

Cette partie reste trouble.

Je n'ai pas compris pourquoi de s© = C et de s(Δ) = Δ on déduit que s(C ∩ Δ) = C ∩ Δ ou s({P, R}) = {P, R} puis, comme ni P

ni R ne sont sur l'axe de symétrie (i.e. ni P ni R ne sont invariants), on a : s(P) = R et s® = P. P et

R sont donc symétriques orthogonalement par rapport à la droite (MN).

[sbnette]

Cette partie reste trouble.

Je n'ai pas compris pourquoi de s© = C et de s(Δ) = Δ on déduit que s(C ∩ Δ) = C ∩ Δ ou s({P, R}) = {P, R} puis, comme ni P

ni R ne sont sur l'axe de symétrie (i.e. ni P ni R ne sont invariants), on a : s(P) = R et s® = P. P et

R sont donc symétriques orthogonalement par rapport à la droite (MN).

Alors comme O apartient à (MN), O est invariant par s (car s= symétrie orthogonale par rapport à (MN) donc s((MN))=(MN)).

Donc l'image d'un cercle de centre O est lui même car toujours même diamètre puisque la symétrie concerve les distances et donc ici le diamètre. L'image par s de C est aussi un cercle de même centre (ici O) et de même diamètre donc c'est le même cercle.

Ensuite, Δ est la médiatrice de [OM] donc si on appelle D le point d'intersection de (MO) et (PR)=(Δ), C reste constant car D appartient à (MN) et s(MN)=(MN).

Comme Δ est la médiatrice de [OM], alors chaque point de Δ est équidistant de M et de O.

De plus, comme P et R appartienent au cercle C [OP]=[OR]. On a deux triangles OPD et ODR ayant un côté commun et un second côté égaux, ils sont donc égaux, d'où [DR]=[DP].

Comme [DR]=[DP] et que D appartient à (MN) et Δ, on a s([DR])=[DP] .

Δ est donc invariante par s.

Comme C et Δ sont invariants par s alors l'intersection de s et Δ est invariant par s.

Comme M et N n'appartiennent pas à (MN), ils ne sont pas invariants par la symétrie, et comme [DR]=[DP] (comme dit plus haut) alors s®=P

J'espère avoir éclaici un peu les choses sinon dit le j'essayerai de clarifier encore

[ninie586]

Il fallait donc s'aider du rayon du cercle et des triangles.

Merci pour ton aide.

[varuna]

hello

on peut faire autrement ( mais memes proprietes ! )

Le triangle POR est isocele de sommet O ( 2 rayons) . Donc la hauteur (OM ) est aussi mediatrice de [PR] .

donc axe de symétrie du triangle.

ciao

[nomade]

hello

on peut faire autrement ( mais memes proprietes ! )

Le triangle POR est isocele de sommet O ( 2 rayons) . Donc la hauteur (OM ) est aussi mediatrice de [PR] .

donc axe de symétrie du triangle.

ciao

Franchement, je préfère de loin cette méthode.... Plus simple, pour un résultat identique.

Merci.

[Car_a_Mel]

hello

on peut faire autrement ( mais memes proprietes ! )

Le triangle POR est isocele de sommet O ( 2 rayons) . Donc la hauteur (OM ) est aussi mediatrice de [PR] .

donc axe de symétrie du triangle.

ciao

simple, concis, efficace

pourquoi chercher midi à 14h?