Petits exercices de math

[Ecoliere]

Encore merci!

Et pour l'exercice 3, A, c'est un parrallelogramme?

[cedrick]

Encore merci!

Et pour l'exercice 3, A, c'est un parrallelogramme?

Salut,

A mon avis, dans l'exercice 3, l'ordre des points D, E, F n'est pas bon (il faut placer D en face de A, sur [bC]; E en face de B, etc...).

A confirmer, mais je ne vois pas comment faire autrement.

Ensuite, si tu regardes la figure, tu vois que ce n'est pas un parallélogramme, plutôt un trapèze:

les segments [DF] et [AC] sont parallèles.

Dans un triangle, quand on a des droites parallèles, c'est dû au théorème de Thalès (ou à sa réciproque, mais ce

n'est pas important).

Si on écrit:

les points {A, F, B} d'une part, et {B, D, C} d'autre part sont alignés, AF/FB=CD/DB, donc, d'après le théorème de Thalès,

les droites (FD) et (AC) sont //.

AFDC est donc un trapèze.

[Ecoliere]

Merci de tes explications, mais je suis pourtant sure que mon énoncé est le bon

[Ecoliere]

D'ailleurs il est forcement bon sinon on ne pourait plus repondre aux questions suivantes, car tout en decoule!

[Ecoliere]

J'arrive toujours pas à faire l'exercice 4

[Ecoliere]

Est ce que quelqu'un saurait m'aider pour le quatrième exercice?

J'ai réussi la première question (je crois), c'est surtout la 2 qui me pose problème.

Merci

Pensez vous que ce genre d'exercice puisse tomber au concours?

[Marcos]

Ce qui m'embête c'est que visiblement, on se sert pas du 1/3 2/3 du centre de gravité et qu'on cherche à prouver ses propriétés. Sinon l'exo est simple et la dernière question j'verrais pas comment y répondre...

En gros c'est un exo où on prouve des trucs qu'on sait, non?

[Ecoliere]

Bouh, je m'enerve sur cette question 2 de l'exercice 4, c'est l'horreur!

J'ai beau réflechir...

[Dominique]

J'arrive toujours pas à faire l'exercice 4

A/ Comparer l'aire du triangle ABM et celle du triangle ACM.

Aire(ABM) = (BM x AH) / 2 et Aire(ACM) = (CM x AH) / 2

Or BM = CM (car M est le milieu de [bC]) donc Aire(ABM) = Aire(ACM).

B/ Quelle propriété a t'on démontré?

Une médiane d'un triangle partage ce triangle en deux triangles de même aire.

2/ Soit ABC un triangle, [AM], [bN], et [CP] les trois medianes de ce triangle et G le centre de gravité du triangle.

A/ Montrer que GBM et GCM ont la même aire.

[GM] est une médiane du triangle GBC (car M est le milieu de [bC]). Elle partage donc ce triangle en deux triangles de même aire (voir précédemment).

Donc Aire(GBM) = Aire(GCM)

B/ Montrer que les triangles GBM, GCM, GCN, GAN, GAP et GBP ont la meme aire.

On peut démontrer que Aire(GAP) = Aire(GBP) et que Aire(GCN) = Aire(GAN) de la même manière qu'on a démontré que Aire(GBM) = Aire(GCM).

On sait, par ailleurs, que Aire(ABM) = Aire (ACM) (voir A).

On peut donc en déduire que : 2×Aire(GAP) + Aire(GBM) = 2× Aire (GCN) + Aire (GCM).

Or Aire(GBM) = Aire(GCM). Donc 2×Aire(GAP) = 2×Aire(GCN) et finalement Aire(GAP) = Aire (GCN).

On sait donc maintenant que : Aire(GAP) = Aire(GBP) = Aire (GCN) = Aire(GAN) et que : Aire(GBM) = Aire(GCM)

Il reste à démontrer, par exemple, que Aire(GCM) = Aire(GCN).

Or Aire(BCP) = Aire(CPA) (propriété de la médiane). Donc : 2 × Aire(GCM) + Aire(GBP) = 2× Aire(GCN) + Aire(GAP).

Comme Aire (GBP) = Aire(GAP), on a 2 × Aire(GCM) = 2× Aire(GCN) et donc Aire(GCM) = Aire(GCN)

Conclusion : les triangles GBM, GCM, GCN, GAN, GAP et GBP ont la même aire.

C/ Quelle propriété a t'on démontré?

Les trois médianes d'un triangle partagent ce triangle en six triangles de même aire.

[cedrick]

Merci de tes explications, mais je suis pourtant sure que mon énoncé est le bon

Ecolière,

J'ai vraiment l'impression de m'embrouiller: si F est le milieu de [AC], comme dit dans l'énoncé de l'exercice 3, AFDC n'est pas un

qualdrilatère puisque A,F,C sont alignés (F appartient au triangle ADC).

[Dominique]

Exercice 3

Soit ABC un triangle, et D, E, F les milieux respectifs des segments [AB], [bC] et [CA]

1/

A/ Quelle est la nature du quadrilatère ADFC? Justifiez votre réponse.

Je considère qu'il y a une erreur dans l'énoncé et qu'on demande la nature du quadrilatère EDFC.

D'après le théorème réciproque du théorème de Thalès (ou d'après ce que certains appellent le théorème des milieux) on a : (FD)//(EC) et (DE)//(FC).

Le quadrilatère EDFC est donc un parallélogramme.

B/ Demontrer que la droite (DC) est à la fois une mediane du triangle ABC et du triangle EFD.

EDFC étant un parallélogramme, ses diagonales se coupent en leur milieu. Le point d'intersection I de (DC) et (EF) est donc le milieu de (EF).

La droite (DC) qui est de façon évidente une médiane du triangle ABC (car D est le milieu de [AB]) est donc aussi une médiane du triangle EFD car elle passe par un sommet D de ce triangle et par le milieu I du côté opposé de ce triangle.

2/

A/ Soit G le centre de gravité du triangle ABD.

B/ Demontrer que G est aussi le centre de gravité du triangle EFD.

Je considère à nouveau qu'il y a une erreur d'énoncé et qu'il est écrit "Soit G le centre de gravité du triangle ABC".

De la même manière qu'on a démontré que la médiane (DC) du triangle ABC était une médiane du triangle EFD, on peut démontrer que les deux autres médianes du triangle ABC sont aussi les deux autres médianes du triangle EFD.

Les triangles ABC et EFD ont les mêmes médianes. Ils ont donc le même centre de gravité (rappel : le centre de gravité d'un triangle se situe à l'intersection de ses médianes) donc G est aussi le centre de gravité du triangle EFD.

[Ecoliere]

Merci de tes explications, mais je suis pourtant sure que mon énoncé est le bon

Ecolière,

J'ai vraiment l'impression de m'embrouiller: si F est le milieu de [AC], comme dit dans l'énoncé de l'exercice 3, AFDC n'est pas un

qualdrilatère puisque A,F,C sont alignés (F appartient au triangle ADC).

C'est le quadrilatère edfc, je me suis trompée, excusez moi!

Merci beaucoup pour l'exercice 4 Dominique, c'est très clair maintenant!