exo sur divibilité

[carla03]

Voilà le sujet:

Soit mcdu, un nombre à 4 chiffres ecrit en base 10.

Vérifier que mcdu =1001 multiplié par m +99 multiplié par c + 11 multiplié par d-m+c-d+u

A partir de la question précédente , énoncer et démontrer un critère de divisibilité de 11 par les nombres inferieurs à 999( condition necessaire et suffisante) .

Utiliser ce critére pour trouver 3 nombres de 4 chiffres multiples de 11 ayant 38 centaines.

Montrer que le critere de la question precedente s' applique au nombres à 6 chiffres qu' on notera abmcdu.

Utiliser alors ce critére pour déterminer si le nombre 1,2452 multiplié par 10 puissance 11 est divisible par 11. Justifier la réponse.

[piou]

Soit mcdu, un nombre à 4 chiffres ecrit en base 10.

mcdu = 1000*m+100*c+10*d+u (décomposition canonique)

mcdu = (1001-1)*m+(99+1)*c+(11-1)*d+u

mcdu = 1001*m+ 99*c+11*d+u-m+c-d

Pour qu'un nombre mcdu soit divisible par 11, il faut et il suffit que la somme u-m+c-d soit divisible par 11.

3 nombres de 4 chiffres avec 38 centaines.

Donc m=3 et c=8 (-> 38 centaines = 3800)

on veut u-3+8-d divisible par 11 donc 5+u-d divisible par 11.

On prend les chiffres dans l'ordre :

5+6-0 = 11 ->3806

5+7-1 = 11 ->3817

5+8-2 = 11 ->3828

5+9-3 = 11 ->3839

Soit abmcdu, un nombre à 6 chiffres ecrit en base 10.

abmcdu = 100 000a+10 000b+1000m+100c+10d+u

= 100 001a+ 9999b+1001m+ 99c+11d+u-a+b-m+c-d

Le nombre 1.2452*10^11 peut s'écrire 124520*10^6

124520 est divisible par 11 car : 0-1+2-4+5-2 = 0 (0 est multiple de 11 : 11*0)

Pour tout nombre x divisible par 11, on a l'égalité : x = 11*q

x*10^6=11*q*10^6 donc x*10^6 est aussi divisible par 11.