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Carré et losange


Ingrid1307
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Bonsoir, je vois écrit à la page 151 du livre de base de mathématiques du CNED, dans la partie sur les quadrilatères particuliers, qu'un losange a ses 4 côtés de même longueur... Pour moi si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en formant un angle droit et qui a ses 4 côtés de même longueur c'est un carré... Pour le carré ils disent que c'est un rectangle qui a 2 côtés consécutifs de même longueur: pour quoi ne pas faire plus imple en disant tout simplement qu'il a ses 4 côtés de même longueur...

Pouvez-vous éclairer ma lanterne svp?

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Bonsoir, je vois écrit à la page 151 du livre de base de mathématiques du CNED, dans la partie sur les quadrilatères particuliers, qu'un losange a ses 4 côtés de même longueur... Pour moi si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en formant un angle droit et qui a ses 4 côtés de même longueur c'est un carré... Pour le carré ils disent que c'est un rectangle qui a 2 côtés consécutifs de même longueur: pour quoi ne pas faire plus imple en disant tout simplement qu'il a ses 4 côtés de même longueur...

Pouvez-vous éclairer ma lanterne svp?

Tu peux justifier de différentes façons:

Un losange est un quadrilatère dont les diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu.

Un carré est un losange qui a ses diagonales de même longueurs. (donc des diagonales toujours perpendiculaires qui se coupent en leur milieu)

Mais un losange c'est aussi un quadrilatère qui a 4 côtés égaux

et un carré est un losange avec un angle droit.

Je ne sais pas si je suis claire... ms pour justifier un carré tu as beaucoup de possibilités: ou tu pars du losange (diagonales ou côtés) ou du rectangle (diagonales ou côtés).

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Un quadrilatère qui a ses 4 côtés de même longueur et ses diagonales perpendiculaires est bien un losange. Pour que ce soit un carré, il faudrait en plus de ce que je viens de citer :

- soit 1 angle droit

- soit ses diagonales de même longueur.

Ensuite, on dit qu'un carré est un rectangle qui a 2 côtés consécutifs car si tu sais, par exemple, que ABCD est un rectangle et qu'on te demande de prouver que c'est un carré, ça t'évitera de calculer AB ; BC ; CD et DA pour montrer qu'ils sont tous égaux entre eux. Seul AB=BC, par exemple, suffira.

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Comme je ne peux pas inclure d'image, je prendrai l'exemple de l'as de carreau : 4 côtés égaux et les diagonales sont perpendiculaires pourtant ce n'est pas un carré. Pour que ce soit un carré, il faut en plus démontrer que les diagonales ont même longueur ou que deux côtés consécutifs sont perpendiculaires.

Plusieurs définitions peuvent correspondre à un carré et 4 côtés de même longueur ne suffisent à prouver qu'il s'agit d'un carré mais juste qu'il s'agit d'un losange. En revanche, si tu sais que c'est un rectangle (donc 4 angles droits) il ne reste plus qu'à démontrer que 2 cotés consécutifs sont de même longueur pour prouver le carré.

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Oui oui. J'ai compris. En fait je n'avais pas fait attention... Quand je voyais "même longueur", je devais voir dans ma tête les diagonales, d'où la confusion... Merci bien!

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Dernière petit question: pour les losanges comme les cerfs-volants... je veux dire qui ont 2 fois 2 côtés de même longueur, comment doit-on l'appeler? Un losange (en opposition au losange particulier tel que nous venons de l'évoquer), un quadrilatère?...

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Il est vrai que ce n'est pas toujours simple à décortiquer...

Je pense qu'il faut le prendre dans un autre sens.

Un quadrilatère ayant ses 4 côtés de même longueur et ses diagonales perpendiculiares ET qui se coupent en leur milieu... est un losange !

Ca peut aussi être un carré, car un carré n'est qu'un losange particulier !!

Si tu imbriques tout, un quadrilatère est un parallélogramme si ce quadrilatère a ses côtés opposés deux à deux parallèles.

Un parallélogramme est un losange s'il a deux côtés consécutifs de même longueur, ou que ses diagonales se coupent perpendiculaitement.

Enfin le losange est un carré s'il a un des ses angles droits.

Pour comprendre le raisonnement évoqué, il faut donc toujours aller de la figure standard à la figure particulière, et non l'inverse (le carré est une figure très particulière :P )

Et c'est une propriété admise que tous les carrés sont aussi des losanges.

Pour ce qui est marqué dans le bouquin du CNED, c'est vrai que dire qu'un carré est un rectangle qui a deux côtés ocnsécutifs de même longueur est vrai, mais pas forcément le raisonnement valable pour tous le cas, donc le mettre en "exergue" n'était pas forcément l'idéal...

Et sinon avoir 4 côtés de même longueur n'est pas suffisant, cf. raisonnement plus haut, pour dire qu'on a affaire à un carré (ça peut justement être un losange, et autant vérifier et démontrer car parfois les figures sont si proches du carré en angles que c'est trompeur...)

Ouh la, je vois qu'entre temps beaucoup ont répondu :D

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Dernière petit question: pour les losanges comme les cerfs-volants... je veux dire qui ont 2 fois 2 côtés de même longueur, comment doit-on l'appeler? Un losange (en opposition au losange particulier tel que nous venons de l'évoquer), un quadrilatère?...

Ce n'est pas un losange. Juste un quadrilatère.

edit : en fait, on peut appeler cette figure "Cerf-volant" ou "deltoïde" (mais "deltoïde" est peu utilisé je crois)

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Pour moi un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en formant un angle droit et qui a ses 4 côtés de même longueur c'est un carré...

ben non, c'est un losange.

Losange = 4 cotés de même longueurs et c'est tout (les diagonales qui se coupent à angle droit, c'est une conséquence)

Carré = Losange... dont les diagonales sont de même longueur OU 4 côtés de même longueur + au moins un angle droit.

Tu notes qu'un carré est donc un losange.

D'ailleurs un carré est aussi un rectangle.

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Pour moi un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en formant un angle droit et qui a ses 4 côtés de même longueur c'est un carré...

ben non, c'est un losange.

Losange = 4 cotés de même longueurs + diagonales qui se coupent à angle droit.

Carré = Losange... dont les diagonales sont de même longueur OU 4 côtés de même longueur + au moins un angle droit.

Tu notes qu'un carré est donc un losange.

D'ailleurs un carré est aussi un rectangle.

oups, tout le monde l'avait déjà dit :idontno:

Bon, un cerf-volant, c'est juste un quadrilatère particulier. Sa caractéristique ets d'avoir des diagonales qui (1) se coupent à angle droit et (2) se coupent en leur milieu.

Mais ce n'est pas un losange car il n'a pas 4 côtés égaux.

Quand on dit qu'un carré est un losange particulier c'est qu'il a les caractéristiques d'un losange et EN PLUS il a quelquechose d'autre, de particlier (ici, un angle droit)

On ne peut pas dire qu'un cerf-volant serait un losange particulier du fait qu'il aurait une caractéristique en moins. Ca ne se fait pas. S'il n'a pas 4 côtés égaux, ça ne peut pas être un losage, c'est tout.

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Un quadrilatère qui a ses 4 côtés de même longueur et ses diagonales perpendiculaires est bien un losange.

En fait les 4 côtés de même longueur suffisent à caractériser le losange. Pas de besoin de parler des diagonales en l'occurence.

Il se trouvent qu'elles se coupent à angle droit, et même en leur milieu aussi.

(C'est donc un parallélogramme !)

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oups, tout le monde l'avait déjà dit :idontno:

Bon, un cerf-volant, c'est juste un quadrilatère particulier. Sa caractéristique ets d'avoir des diagonales qui (1) se coupent à angle droit et (2) se coupent en leur milieu.

Mais ce n'est pas un losange car il n'a pas 4 côtés égaux.

Un cerf-volant a ses diagonales qui se coupent à angle droit, je suis bien d'accord, mais elles ne se coupent pas en leur milieu... :huh: Non ?

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oups, tout le monde l'avait déjà dit :idontno:

Bon, un cerf-volant, c'est juste un quadrilatère particulier. Sa caractéristique ets d'avoir des diagonales qui (1) se coupent à angle droit et (2) se coupent en leur milieu.

Mais ce n'est pas un losange car il n'a pas 4 côtés égaux.

Un cerf-volant a ses diagonales qui se coupent à angle droit, je suis bien d'accord, mais elles ne se coupent pas en leur milieu... :huh: Non ?

Oui je suis d'accord avec toi, car sinon ca serait un losange il me semble.

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  • 10 years later...

Un cerf-volant est un quadrilatère dont une des diagonales est un axe de symétrie. On peut aussi dire qu'un cerf-volant a deux paires de côtés consécutifs égaux.

La diagonale qui est l'axe de symétrie coupe donc l'autre diagonale en son milieu. (Il faudrait aussi ajouter quadrilatère convexe pour éviter la forme en flèche pour être précis).

Ensuite on peut se demander si un losange est un cerf-volant particulier. Avec les définitions ci-dessus, la réponse est oui. Mais comme le trapèze, cette figure n'est pas vraiment au programme de primaire ou de collège. Au collège, elle était apparue dans les années 2000, mais elle semble s'être envolée...

Pour revenir sur les notions de carré, de losange et de rectangle. C'est finalement à la fois très simple et très compliqué. L'idéal serait que les profs des écoles maîtrisent totalement cette notion or une étude des années 80 ou 90 montrait que la majorité des candidats ne la maîtrisait pas totalement. Quand on discute avec un prof des écoles qui ne maîtrise pas bien cette notion, il pense souvent que c'est trop compliqué à expliquer à des enfants de 9 ou 10 ans. Dire qu'un carré est un losange particulier choque ses profs en disant que les élèves vont s'embrouiller. Pourtant c'est faux, il y a un question simple à poser pour le prouver : " Si on demande à vos élèves cette figure est-elle un quadrilatère ? (en montrant un carré) Que souhaitez-vous que vos élèves répondent ? " Tout le monde est d'accord pour dire qu'un carré est bien un quadrilatère et chacun sait que tous les quadrilatères ne sont pas des carrés.

Si on étudiait les carrés, losanges et rectangles comme on étudie les trapèzes ou les cerf-volants c'est à dire comme des formes à savoir reconnaître pour sa culture générale alors ce ne serait pas bien grave d'avoir ces manques de rigueur mathématiques. Tout comme la confusion permanente entre chiffres et nombres...

Mais le gros problème, c'est d'apprendre des choses fausses à des élèves de 10 ans pour leur expliquer à l'âge de 12 ans qu'ils se trompent. Je fais souvent une analogie avec le pluriel en français, aurions-nous l'idée d'apprendre aux élèves qu'on écrit "Les élèves danses dans la cour" parce qu'ils sont trop jeunes pour comprendre qu'on doit écrire "dansent". S'ils sont vraiment trop jeunes et bien on n'écrit pas on reste au niveau oral, cela ne pose aucun problème. Et bien pour les quadrilatères si on pense qu'ils sont trop jeunes pour comprendre et bien il ne faut pas écrire du tout de définition. Et si on pense que finalement c'est indispensable et bien il faut absolument écrire les bonnes définitions qui sont souvent très simples:

Un losange est un quadrilatère qui a 4 côtés de même longueur.

Un rectangle est un quadrilatère qui a 4 angles droits.

Un carré est un quadrilatère qui a 4 côtés de même longueur et 4 angles droits.

Voilà c'est simple et quand les élèves voient ces 3 définitions et bien en général plusieurs s'écrient : "Mais alors un carré est à la fois un rectangle et un losange !!!" Et oui !!! :)

Sauf qu'il y a aussi ceux qui ajoutent : "Mais c'est pas possible car l'an dernier on a vu..." Et oui... :(

L'autre gros problème, c'est que même dans les manuels, il y a des erreurs sur les notions de quadrilatères. J'ai vu un manuel qui rappelait fort justement que les diagonales d'un losange pouvaient être de même longueur, mais par contre le losange n'a pas d'angle droit ! Or, si un losange a ses diagonales de même longueur c'est un carré, donc  il a bien 4 angles droits.

PS: La notion de convexe et de concave est aussi "compliquée" pour un élève de primaire pourtant c'est bien en primaire que j'ai le plus souvent utilisé cette notion avec un moyen simple pour retenir : "Dans concave, il y a un trou comme une cave" si bien que ce mot m'a toujours fait peur, car je n'aimais pas descendre à la cave à cet âge-là... ;) Je précise que mon maître ajoutait aussi des dessins simples avec la figure concave où on peut relier deux points par un segment qui sort de la figure. Et à 9 ans c'est très amusant de piéger ses camarades avec des cas extrêmes. On peut tout aussi jouer avec des cas compliqués de carrés, de rectangles, de losanges... Carré ou pas ? Si on tourne un carré reste-t-il carré ? Combien de rectangles dans un carré avec ses 2 médianes ? etc... Les enfants sont contents de piéger ensuite leurs parents...

 

 

 

 

 

 

Edited by manu7
les fautes d'orthographe
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