rationnels

[bouchon24]

On considere le rationnel dont l'ecriture à vigule est r= 2,370, la periode etant 370

1- ecrire ce rationnel sous la forme p/q

2- la division euclidienne de 64 par 27 donne 2+10/27

* Effectuer la division euclidienne de 100 par 27 .En deduire l'egalité :

64/27 = 2+3/10+1/10 (19/27)

et en deduire le chiffre des dixiemes de l'ecriture à virgule de 64/27

* Reiterer la procedure pour trouver le chiffre des centiemes et milliemes de 64/27

* Retrouver en utlisant ces calculs :

- pourquoi l'ecriture decimale de 64/27 est periodique et infinie

- pourquoi on obtient par ce procedé un seul chiffre à chaque quotient

3- Utiliser l'egalité ecrite en 2* pour donner une valeur excate de l'erreur commise en remplaçant 64/27 par 2,3

4- quelle serait l'erreur commise en choisissant comme valeur approchée 2,4 ?

Pourquoi cette erreur est elle inferieure à un dixieme ?

Merci de m'eclairer sur ce probleme ..l'ai un doute

[Marcos]

soit x = 2.370370370...

1000x = 2370.370...

1000x-x = 2368

999x = 2368

x= 2368/999

Donc p/q = 2368 / 999 = (37x64)/(27x37) = 64/27

On donne : 64/27 = 2 + 10/27

Calculons 100/27 => 100 = 27 x 3 + 19. Donc on peut écrire (27x3 +19)/27

D'où :

64/27= 2 +(10/27) = 2 + (10/27)(10/10)

64/27= 2 + (100/27)(1/10)

64/27= 2 + ((27x3 + 19)/27)(1/10)

64/27= 2 + ((27x3)/27)(1/10) + (19/27)(1/10)

64/27= 2 + 3/10 + (1/10)(19/27)

Le chiffre des dixièmes est donc 3.

Je travaille la suite là, le jour du concours, je me serais fait foudroyé pour ma lenteur :'(

[orion144]

Voilà pour le début de la 2ème question:64/27=2+10/27 (A)

On nous demande de faire la division euclidienne de 100 par 27 :

100=3*27+19

d'où 100/27=3+19/27 (je divise les 2 côtés de l'agalité par 27

de plus 10/27=(1/10)*(100/27) c'est pour faire apparaître le résultat que l'on vient de trouver

donc la relation (A) s'écrit : 64/27=2+(1/10)*(3+19/27)=2+3/10 + (1/10)*(19/27)

donc le chiffre des dixièmes, c'est 3 ;

pour les centièmes, il faut faire la division euclidienne de 190 par 27 :

190=27*7+1

soit 190/27=7+1/27

de plus 19/27=(1/10)*(190/27)

on peut écrire (A) : 64/27=2+3/10+(1/10)*(1/10)*(190/27)=2+3/10+1/100*(7+1/27)=2+3/10+7/100+(1/100)*1/27

donc le chiffre des centièmes c'est 7

Pour le chiffre des millièmes on divise 10 par 27, or 10<27 donc 10=0*7+10

1/27=(1/10)*(10/27)

et (A) s'écrit : 64/27=2+3/10+7/100+1/100*(1/10)*(10/27)=2+3/10+7/100+0/1000+(1/1000)*(10/27)

Le chiffre des millèmes c'est 0

Pour trouvrer le nombre suivant on va diviser 100/27...tiens c'était le premier calcul

donc on recommence la même série de calcul

[Marcos]

Post raté

[orion144]

Oups, excuse moi Marcos, j'étais en train d'éditer mon premier message.

[Marcos]

Pas de soucis, j'ai pas trouvé la solution que tu as trouvé ^^

Merci

[orion144]

Pourquoi on obtient par ce procédé un seul chiffre à chaque quotient ?

Euh, ce n'est pas le principe de la division euclidienne :

Dividende = diviseur*quotient + reste, le quotient étant entier pour touver les chiffres après la virgule on multiplie le reste par 10 (comme dixième) et on recommence :

reste*10=diviseur*quotient_2 +reste_2

Alors : Dividende =diviseur*quotient +1/10*(diviseur*quotient +reste_2)

etc...

je ne suis pas sûre que ça convienne bien comme réponse

[orion144]

Allez, on continue avec l'erreur commise, c'ets plus facile :

64/27-2.3 = 64/27-2-3/10

D'après la relation obtenue,

64/27=2+3/10+7/100+(1/1000)*10/27

on a 64/27-2-3/10=7/100+1/2700

[orion144]

Si on prend 2.4 comme valeur approchée

2+4/10-64/27)=2+4/10-2-3/10-7/100-1/2700=1/10-7/100-1/2700

Cette erreur est donc inférieure à 1/10éme puisque à ce nombre, on retranche l'erreur trouvée précedemment.