maths marseille 2002

[annabelle]

Exercice 3 :

1°) - [AB}est un segment de longueur 6 cm.

Pour chacune des questions a), b ), c) ci-dessous le candidat donnera une réponse

sans justification:

- soit en faisant une figure et en la décrivant;

-soit en donnant une définition mathématique de l'ensemble demandé.

Quel est l'ensemble des points Mdu plan vérifiant:

a) AM< BM ?

b ) AM est le plus petit côté du triangle ABM?

c) ABM est un triangle rectangle?

2°) - On considère trois points A, B, C non alignés du plan.

a) Etablir l'existence d'un seul point 1du plan tel que lA = IB = IC.

Construire ce point à la règle et au compas sur la figure 1 donnée en annexe

en laissant visibles les traits de construction.

Soit D un point du plan tel que trois quelconques des quatre points A, B, C, I.

ne soient pas alignés.

J désigne le point du plan tel que JA =JB =JD.

K désigne le point du plan tel que KA = KC = KD.

L désigne le point du plan tel que LB = LC = LD.

b)Montrer que si I et J sont confondus alors les quatre points l, J, K, L sont

confondus.

Quelle est alors la position relative des points A, B, C, D ?

c) On suppose que I et J sont distincts.

Caractériser la position relative des points A, B, C, D (tels que trois d'entre

eux ne soient pas alignés) pour que le quadrilatère IJKL soit un

parallélogramme.

Faire une construction dans ce cas en complétant la figure 2 de l'annexe 1.

d) Est-il possible de trouver une position relative de A, B, C, D pour que IJKL

soit un rectangle ?

Je crois que j'ai réussi la 1ère question et le début de la 2ème mais à partir de Soit D un point du plan tel que trois quelconques des quatre ... Je patauge!!! cryin

ah, au fait pour les annexes je n'arrive pas à les joindre mais les figures représentent toutes les deux un triangle quelconque abc

[Hubert]

Bon, ce n'est pas simple, pour les deux dernières questions.

Allons y.

1)

a ) Le demi-plan délimité par la médiatrice de [AB] et contenant A, non compris la médiatrice en question.

b ) Les points du demi-plan ci-dessus qui sont également dans le disque de centre A et de rayon AB

c ) La réunion de :

- la droite passant par A et perpendiculaire à (AB)

- la droite passant par B et perpendiculaire à (AB)

- le cercle de diamètre [AB]

2)

a)

IA = IB => le point I est sur la médiatrice de [AB]

IC = IB => le point I est sur la médiatrice de [bC]

IA = IC => le point I est sur la médiatrice de [AC]

A,B et C ne sont pas alignés. Or on sait que les médiatrices d'un triangle sont concourantes. Le point d'intersection est ici notre point I.

I est aussi le centre du cercle de rayon IA (ou IB ou IC).

Je vous laisse faire le dessin.

b )

Les trois points A, B et C appartiennent au cercle de centre I et de rayon IA.

Les trois points A, B et D appartiennent au cercle de centre J et de rayon IA.

Si I et J sont confondus, alors ces deux cercles sont confondus (même centre, même rayon).

Par conséquent, les quatre points A,B,C et D sont sur un même cercle de centre I (ou J).

On en déduit que le point K, centre du cercle contenant A, C et D, ainsi que le point L, centre du cercle contenant B, C et D, sont également confondus avec I et J.

Position relative des 4 points : ils sont sur un même cercle.

c)

On sait que :

- I appartient à la médiatrice de [bC] (I est le point d'intersection des médiatrices du triangle ABC)

- L appartient à la médiatrice de [bC] (L est le point d'intersection des médiatrices du triangle BCD)

- J appartient à la médiatrice de [AD] (J est le point d'intersection des médiatrices du triangle ABD)

- K appartient à la médiatrice de [AD] (K est le point d'intersection des médiatrices du triangle ACD)

(IL) est donc la médiatrice de [bC], et (JK) la médiatrice de [AD].

Si on veut que IJKL soit un parallélogramme, alors (IL) doit être parallèle à (JK).

Donc la médiatrice de [bC] doit être parallèle à la médiatrice de [AD].

Donc (BC) doit être parallèle à (AD).

De même :

- I appartient à la médiatrice de [AB] (I est le point d'intersection des médiatrices du triangle ABC)

- J appartient à la médiatrice de [AB] (J est le point d'intersection des médiatrices du triangle ABD)

- K appartient à la médiatrice de [CD] (K est le point d'intersection des médiatrices du triangle ACD)

- L appartient à la médiatrice de [CD] (L est le point d'intersection des médiatrices du triangle BCD)

(IJ) est donc la médiatrice de [AB], et (KL) la médiatrice de [CD].

Si on veut que IJKL soit un parallélogramme, alors (IJ) doit être parallèle à (KL).

Donc la médiatrice de [AB] doit être parallèle à la médiatrice de [CD].

Donc (AB) doit être parallèle à (CD).

Conclusion :

(AB) parallèle à (CD) et (BC) parallèle à (AD).

Donc ABCD est un parallélogramme.

Je vous laisse faire le dessin.

d)

On sait que :

- I appartient à la médiatrice de [AB] (I est le point d'intersection des médiatrices du triangle ABC)

- J appartient à la médiatrice de [AB] (J est le point d'intersection des médiatrices du triangle ABD)

et :

- J appartient à la médiatrice de [AD] (J est le point d'intersection des médiatrices du triangle ABD)

- K appartient à la médiatrice de [AD] (K est le point d'intersection des médiatrices du triangle ACD)

Si on veut maintenant que IJKL soit un rectangle, il faut qu'en plus, par rapport à la question précédente, on ait un angle droit entre 2 côtés consécutifs.

Donc par exemple, que (IJ) soit perpendiculaire à (JK).

=> la médiatrice de [AB] est perpendiculaire à la médiatrice de [AD]

=> (AB) est perpendiculaire à (AD)

Il suffit donc que ABCD soit un parallélogramme (vu à la question précédente) et qu'en plus (AB) soit perpendiculaire à (AD)

Autrement dit, il faut que ABCD soit un rectangle.

[annabelle]

je suis d'accord avec toi jusqu'a la question 2b

mais la 2c on demande que ce soit le quadrilatère IJKL qui soit un parallélogramme et toi tu dis :

(AB) parallèle à (CD) et (BC) parallèle à (AD).

Donc ABCD est un parallélogramme.

ça doit être bon ce que tu as écrit, il doit juste y avoir quelques modifs à faire, idem pour la question 2d, ou alors c'est moi qui comprends rien...J'ai déjà du mal d'habitude mais là j'avoue que je suis perdue... cryin

[woodette]

Mais dans l'énoncé on te demande de caractériser A, B, C, et D tels que IJKL soit un parallélogramme.

Donc tu pars de l'hypothèse IJKL est un parallélogramme, tu en déduis les propriétés des points I, J, K, L et donc des points A, B, C, D, ce qu'à fait Hubert.

[Hubert]

ça doit être bon ce que tu as écrit, il doit juste y avoir quelques modifs à faire, idem pour la question 2d, ou alors c'est moi qui comprends rien...

Je ne pense pas qu'il y ait des modifs à faire, tu peux me faire confiance...