problème géométrie

[Kikoune]

dans un triangle ABC, on appelle H le pied de la hauteur issue de A.

AH=10 et BC=12

Une paralèlle à (BC) coupe (AB) en R, (AC) en S et (AH) en K.

a) démontrer que (AK) est perpendiculaire à (RS)

b) on pose AK=x. Démontrer que RS= 6/5x

En déduire l'aire du triangle ABC en fonction de x.

c) Quelle valeur faut-il donner à x pour que l'aire du triangle ARS soit égale à la moitié de celle du triangle ABC?

Voilà merci de m'aider, j'ai honte d'être nulle!!

[Dominique]

dans un triangle ABC, on appelle H le pied de la hauteur issue de A.

AH=10 et BC=12

Une paralèlle à (BC) coupe (AB) en R, (AC) en S et (AH) en K.

a) démontrer que (AK) est perpendiculaire à (RS)

(AK) est la hauteur issue de A du triangle ABC donc (AK) est perpendiculaire à (BC).

Or (RS) est parallèle à (BC) donc (AK) est également perpendiculaire à (RS).

b) on pose AK=x. Démontrer que RS= 6/5x

Les droites (RS) et (BC) sont parallèles donc les triangles ARS et ABC sont homothétiques.

Or (AK) est la hauteur issue de A du triangle ARS et (AH) est la hauteur issue de A du triangle ABC.

Donc AK / AH = RS / BC

Donc x / 10 = RS / 12

Donc RS = 12x / 10 = 6x / 5

En déduire l'aire du triangle ABC en fonction de x.

Je pense que tu as mal recopié l'énoncé et qu'il s'agit du triangle ARS.

Aire de ARS = 1/2 × AK × RS = 1/2 × x × (6x/5) = 6x²/10 = 3x²/5

c) Quelle valeur faut-il donner à x pour que l'aire du triangle ARS soit égale à la moitié de celle du triangle ABC?

L'aire de ABC est égale à 1/2 x AH x BC soit 1/2 × 10 x 12 soit 60.

L'aire du triangle ARS est égale à la moitié de celle du triangle ABC lorsque 3x²/5 = 30 donc lorsque x² = 50 donc lorsque x = rac (50) [car x est un nombre positif ou nul] donc lorsque

x = 5rac(2).

[leosteph]

dans un triangle ABC, on appelle H le pied de la hauteur issue de A.

AH=10 et BC=12

Une paralèlle à (BC) coupe (AB) en R, (AC) en S et (AH) en K.

a) démontrer que (AK) est perpendiculaire à (RS)

b) on pose AK=x. Démontrer que RS= 6/5x

En déduire l'aire du triangle ABC en fonction de x. IL NE S'AGIT PAS DU TRIANGLE ASR ?

c) Quelle valeur faut-il donner à x pour que l'aire du triangle ARS soit égale à la moitié de celle du triangle ABC?

Voilà merci de m'aider, j'ai honte d'être nulle!!

Bonsoir,

Voici ce que je répondrai.

a)

- (BC) perpendiculaire à (AH) puisque H est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC

- (BC) // (RS)

donc d'après la propriété : si deux droites sont //, tte perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre

on a (AH) perpendiculaire à (RS)

d'où (AK) perpendiculaire à (RS) car K appartient à (AH)

b)

- Ds le triangle ABC, on applique le théorème de Thales :

~ les points A, S, C et A, R, B sont alignés ds le même ordre

~ (SR) // (BC)

on a donc

AS/AC = AR/AB = SR/CB

- Idem ds le triangle AHB

AK/AH = AR/AB = KR/HB

D'où AR/AB = AK/AH = SR/CB

soit x / 10 = RS/12

d'où RS = (12x)/10

= (6x) / 5

Aire de ASR en fonction de x :

Aire ASR = (bXh)/2

=(SR X AK)/2

= ((6x)/5 X x) /2

= (6x²)/10

= (3x²)/5

c)

x pour que l'aire du triangle ARS soit égale à la moitié de celle du triangle ABC

<=> Aire ARS = (1/2) Aire ABC

(3x²)/5 = (1/2) (b X h )/2

= (1/4) (BC X AH)

= (1/4) (12 X 10)

= 120/4

(3x²)/5 =30

3 x² = 150

X² = 50

soit x = 5 racine de 2

J'espère ne pas avoir fait d'erreur et que ça va t'aider.

[leosteph]

J'ai été trop "lente" à taper.

Tu as ainsi deux réponses.

Désolée lors de la validation du message, la mise en page n'est pas conservée ....

[Kikoune]

merci beaucoup, j'ai vraiment du mal en maths