ladivadelempire Posted January 14, 2008 Share Posted January 14, 2008 Peut on démontrer que le point d'intersection des diagonale d'un trapèze isocèle appartient a l'axe de symétrie de la figure en évoquant n'unicité de ce point ?? Cette question est en rapport avec le devoir cned ... en fichier joint les données... on nous a demande de demontrer que EFCB avait un axe de symétrie... pour moi (AI) puisque j'ai trouvé que EFCB etait un trapèze isocele. La question est : Déduire de ce qui précède que J appartient à (AI). Link to comment Share on other sites More sharing options...
Dominique Posted January 14, 2008 Share Posted January 14, 2008 on nous a demande de demontrer que EFCB avait un axe de symétrie... Il suffit de démontrer que C est l'image de B dans la symétrie orthogonale par rapport à (AI) (ce qui est le cas car on a [AI] perpendiculaire à [bC] puisqu'une médiane d'un triangle équilatéral est aussi une hauteur de ce triangle et car on a IC = IB puisque I est le milieu de [bC]) et de démontrer de manière "analogue" [en utilisant le fait que (EF) // (BC)] que F est l'image de E dans cette même symétrie orthogonale. La question est : Déduire de ce qui précède que J appartient à (AI). Dans la symétrie orthogonale par rapport à (AI), [EC] a pour image [FB] et [FB] a pour image [EC]. Donc le point d'intersection de [EC] et [FB] a pour image le point d'intersection de [FB] et [EC] ce qui signifie que J a pour image J dans la symétrie orthogonale par rapport à (AI) autrement dit que J est un point invariant dans la symétrie orthogonale par rapport à (AI). J appartient donc à l'axe de symétrie (AI). Link to comment Share on other sites More sharing options...
ladivadelempire Posted January 14, 2008 Author Share Posted January 14, 2008 Pour l'axe de symétrie j'avais vu juste ^^ Pour J dire qu'il est invariant c'est deja admettre que J appartient a (AI)... non? Or je me demandais si le fait que J soit une intersection de 2 droites fasse que J est unique et que donc la figure EFBC etant regie par un axe de symétrie J devait donc etre placé sur (AI)... Mais pour les segment images on peut donc appliquer les meme propriétés a d'autre segment issus de ses meme points...? (merci pour la réponse) Link to comment Share on other sites More sharing options...
Dominique Posted January 15, 2008 Share Posted January 15, 2008 Pour J dire qu'il est invariant c'est deja admettre que J appartient a (AI)... non? En fait j'ai démontré que J était invariant dans la symétrie orthogonale par rapport à (AI) et en ai conclu que J appartenait à (AI) car (AI) est l'ensemble des points invariants dans la symétrie orthogonale par rapport à (AI]. Je reprends la démonstration du fait que J est invariant : La démonstration repose sur le fait que si un point M est l'intersection d'une droite D1 et d'une droite D2 alors l'image de M par la symétrie orthogonale (AI) est l'intersection des images des droites D1 et D2. La démonstration elle-même : J est l'intersection des droites (EC) et (FB) donc l'image de J est l'intersection des images des droites (EC) et (FB). Mais l'image de (EC) c'est (FB) et l'image de (FB) c'est (EC) donc l'image de J est l'intersection de (FB) et (EC). Donc l'image de J est égale à J donc le point J est invariant. Remarque : On peut aller beaucoup plus vite si on connaît la propriété suivante : "Dans une symétrie orthogonale, une droite D1 non parallèle à l'axe de symétrie et son image D'1 par cette symétrie orthogonale se coupent en un point appartenant à l'axe de symétrie". Il suffit alors de dire que comme (EC) a pour image (FB), (EC) et (FB) se coupent en un point appartenant à l'axe de symétrie (AI). Link to comment Share on other sites More sharing options...
ladivadelempire Posted January 16, 2008 Author Share Posted January 16, 2008 Ah oui en effet c'est plus rapide Merci beaucoup Link to comment Share on other sites More sharing options...
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