Peut on démontrer que le point d'intersection des diagonale d'un trapèze isocèle appartient a l'axe de symétrie de la figure en évoquant n'unicité de ce point ??

Cette question est en rapport avec le devoir cned ...

en fichier joint les données... on nous a demande de demontrer que EFCB avait un axe de symétrie... pour moi (AI) puisque j'ai trouvé que EFCB etait un trapèze isocele.

La question est : Déduire de ce qui précède que J appartient à (AI).

on nous a demande de demontrer que EFCB avait un axe de symétrie...

Il suffit de démontrer que C est l'image de B dans la symétrie orthogonale par rapport à (AI) (ce qui est le cas car on a [AI] perpendiculaire à [bC] puisqu'une médiane d'un triangle équilatéral est aussi une hauteur de ce triangle et car on a IC = IB puisque I est le milieu de [bC]) et de démontrer de manière "analogue" [en utilisant le fait que (EF) // (BC)] que F est l'image de E dans cette même symétrie orthogonale.

La question est : Déduire de ce qui précède que J appartient à (AI).

Dans la symétrie orthogonale par rapport à (AI), [EC] a pour image [FB] et [FB] a pour image [EC]. Donc le point d'intersection de [EC] et [FB] a pour image le point d'intersection de [FB] et [EC] ce qui signifie que J a pour image J dans la symétrie orthogonale par rapport à (AI) autrement dit que J est un point invariant dans la symétrie orthogonale par rapport à (AI). J appartient donc à l'axe de symétrie (AI).

Pour l'axe de symétrie j'avais vu juste ^^

Pour J dire qu'il est invariant c'est deja admettre que J appartient a (AI)... non? Or je me demandais si le fait que J soit une intersection de 2 droites fasse que J est unique et que donc la figure EFBC etant regie par un axe de symétrie J devait donc etre placé sur (AI)...

Mais pour les segment images on peut donc appliquer les meme propriétés a d'autre segment issus de ses meme points...?

(merci pour la réponse)

Pour J dire qu'il est invariant c'est deja admettre que J appartient a (AI)... non?

En fait j'ai démontré que J était invariant dans la symétrie orthogonale par rapport à (AI) et en ai conclu que J appartenait à (AI) car (AI) est l'ensemble des points invariants dans la symétrie orthogonale par rapport à (AI].

Je reprends la démonstration du fait que J est invariant :

La démonstration repose sur le fait que si un point M est l'intersection d'une droite D₁ et d'une droite D₂ alors l'image de M par la symétrie orthogonale (AI) est l'intersection des images des droites D₁ et D₂.

La démonstration elle-même :

J est l'intersection des droites (EC) et (FB) donc l'image de J est l'intersection des images des droites (EC) et (FB). Mais l'image de (EC) c'est (FB) et l'image de (FB) c'est (EC) donc l'image de J est l'intersection de (FB) et (EC). Donc l'image de J est égale à J donc le point J est invariant.

Remarque :

On peut aller beaucoup plus vite si on connaît la propriété suivante : "Dans une symétrie orthogonale, une droite D₁ non parallèle à l'axe de symétrie et son image D'₁ par cette symétrie orthogonale se coupent en un point appartenant à l'axe de symétrie".

Il suffit alors de dire que comme (EC) a pour image (FB), (EC) et (FB) se coupent en un point appartenant à l'axe de symétrie (AI).

Ah oui en effet c'est plus rapide

Merci beaucoup