Exo de math

[Hubert]

Un exercice pas trop dur pourtant, tiré du sujet de l'académie de Limoges, session 2003.

Je le mets en entier, parce que je suis très curieux de savoir ce que vous trouvez à la question B.2.

J'ai trouvé une solution mais qui me semble un peu hors programme du concours. Du coup j'ai regardé la solution, que j'ai dans les annales, et oh ! surprise, la valeur trouvée est différente de la mienne. Mais à mon avis, elle est fausse, même au niveau du raisonnement. D'où mon scepticisme.

Alors avis aux amateurs.

Soit EFG un triangle rectangle en E tel que EF = 7,2 et EG = 5,4. Le point M se déplace sur le segment [FG], M étant distinct de F et de G.

La parallèle à (EF) passant par M coupe (EG) en N et la parallèle à (EG) passant par M coupe (EF) en P.

Le quadrilatère MNEP est donc un rectangle.

A. L'objectif est de déterminer la position de M sur [FG] pour que le rectangle MNEP ait la plus grande aire possible.

On note x la longueur MN. On a donc 0 < x < 7,2

1. Exprimer les longueurs GN et EN en fonction de x

2. Pour quelle valeur de x le rectangle MNEP est-il un carré ? On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

3. Exprimer en fonction de x l'aire du rectangle MNEP

4. Calculer l'aire du rectangle MNEP lorsque x prend les valeurs : 2 ; 3,2 et 5,8

5. Le graphique en annexe 1 représente l'aire y du rectangle MNEP en fonction de x. Lire la valeur de x pour laquelle cette aire est maximale.

Quelle est alors la position de M sur le segment [FG] ?

Dans ce cas, quelle fraction de l'aire du triangle EFG cette aire représente-t-elle ?

B. L'objectif est de déterminer la position de M sur [FG] pour que la longueur NP soit minimale.

1. Calculer la longueur FG.

2. En utilisant les propriétés du rectangle, déterminer la position de M pour que NP soit minimale.

3. Le point M étant ainsi défini, calculer GM (on pourra utiliser des calculs d'aires).

Je rajouterai comme question subsidiaire à la question B.2 : calculer alors la valeur de NP.

Je ne vous mets pas l'annexe 1, c'est une représentation graphique d'une parabole, dont on peut voir que le sommet est atteint pour x = 3,6

[kti]

cryin j'ai l'impression que PN est minimale lorsque l'autre diagonale du rectangle est perpendiculaire à FG _bl_sh_ donc on calcule la longueur de EM dans le triangle EMG. c'est ça?

[Hubert]

cryin j'ai l'impression que PN est minimale lorsque l'autre diagonale du rectangle est perpendiculaire à FG _bl_sh_ donc on calcule la longueur de EM dans le triangle EMG. c'est ça?

Mince, j'avais pas vu que le dessin allait être aussi grand...

Bon. Ce n'est pas la réponse que j'attends. Ce n'est pas non plus la réponse du livre.

[violaine]

moi j ai pense a calculer NP comme on venait de calculer FG avec Pythagore dans le triangle rectangle ENP

On a deja vu EN avant en fonction de x et EP c est x

Je me retrouve avec NP carre = 21.06 + 1.5625 * x *x

j en suis obligee de conclure que NP est mini quand x est le plus petit possible

mais comme x ne peut pas etre nul ca m arrange pas non plus

C est quoi la solution du bouquin qu on essaye de retrouver leur raisonnement ?

[Hubert]

Je me retrouve avec NP carre = 21.06 + 1.5625 * x *x

Moi aussi, j'utilise Pythagore, mais je ne trouve pas ça.

On a trouvé à la question A.1 : EN = 5.4 - 0.75x

Comme EP c'est x, comme tu le dis si bien, on a donc dans le triangle ENP :

NP² = x² + (5.4 - 0.75x)²

= 1.5625x² - 8.1x + 29.16

C'est en tout cas ce que moi je trouve.

Alors d'où vient cette formule NP² = 21.06 + 1.5625x² ???

Et ça ne répond pas encore à la question.

La réponse du livre ? A la question A.2, on a dû trouver que le rectangle MNEP est un carré si x = 108/35

A la question B.2, celle qui me pose un problème, la réponse laconique du Vuibert est :

La diagonale NP sera minimale pour MNEP carré, donc x = 108/35

C'est quoi, cette propriété bidon ? D'où elle sort ? Quand le point M se déplace sur le segment [FG], le quadrilatère MNEP change de forme, il n'y a rien de constant, ni les proportions, ni le périmètre, rien. Alors, quelle propriété du rectangle suggérée par l'énoncé peut-on utiliser ?

De toute façon, le problème, c'est que si je reporte la valeur 108/35 dans ma formule et que je calcule NP, je trouve NP = 4.3638 (environ). Mais si je prends par exemple x = 2.592, et que je reporte dans ma formule, je trouve NP = 4.32, soit une valeur inférieure à celle trouvée par le Vuibert.

Je suis convaincu que x = 2.592 est la valeur cherchée. Mais comment la trouver sans calculer de dérivée, et en utilisant une propriété des rectangles ?

Alors ?

[poup83]

je réécris la réponse d'atouts pour réussir", si ça peut t'aider..

B2: les diagonales d'un rect ont même longueur dc NP=ME.

Mest situé sur (GF), dc ME est minimale lorsque (ME) est perpendiculaire à (GF) (propriété de la distance d'un point à une droite).

NP est dc minimale qd le pt M est le pied de la perpendiculaire à (GF) passant par E

j'espère que t'y vois plus clair...

[kti]

tu vois hubert j'avais raison pour la perpendiculaire _bl_sh_ donc M est le pied de la perpendiculaire, qui est diagonale du rectangle.

[violaine]

j ai bien la meme formule pour EN, j ai du faire ensuite des erreurs de calculs commme d hab bien sur cryin

les explications de Poup m ont l air mas mal du tout

j y avais pas pense

[Hubert]

L'explication de poup83 se tient très bien, et correspond aussi à ta réponse, kti. Et effectivement, si on vérifie, en prenant x = 2.592, ça correspond bien à une position de M sur le segment [FG] telle que (ME) soit orthogonale à (FG).

Donc, on est tous d'accord, et donc d'accord aussi pour dire que les annales de Vuibert racontent n'importe quoi dans leurs solutions. Remarquez, ce n'est pas la première fois.

Poup83, puisque tu as la correction sous les yeux, peux-tu me dire ce qu'ils proposent comme réponse à la question suivante, B.3 ?

Je trouve GM = 3.24 (exactement), le Vuibert propose comme valeur approchée 3.07.

Et comment parviennent-ils au résultat ?

[poup83]

salut,

Bravo hubert, GM =3,24 cm exactement.

en effet, (EM) est la hauteur issue de E du triangle EFG, dc on a:

aire(GFE)=GF*EM/2 soit 19,44=(9*EM)/2 d'où EM=4,32 cm

appliquons pythagore à EMG

GE²=EM²+GM² soit GM²=GE²-EM²

d'où GM²=10,4976

soit GM= 3,24 cm

NP est dc minimale qd M est à 3,24 cm de G.

[AubergineFelee]

Alors, si Hubert ne comprend plus, je n'ai qu'une chose à dire :

[Nefer]

je viens de faire l'exercice et trouve tt pareil de poup83

juste il ne faut pas oublier le jour du concours de préciser prkoi qd on ns demande de calculer NP minimal, ns on calcule EM minimal.

Mentionner une des propriétés d'un rectangle : diagonales de même longueur. donc préciser EM=NP et EN est minimal qd M est la projection orthogonale de E sur GF. ainsi on a prouvé que EM hauteur issue de E et ensuite on peut calculer/comparer l'aire...

Sinon pr les premières questions :

Pr que NMEP soit un carré

on a déjà :

GN =0,75x ; NE = 5,4 - 0,75x

il faut un rectangle aux deux côtés consécutifs égaux donc x = NE

x = 5,4 - 0,75x d'où x=108/35

(pas de résolution via les diagonales mais via les côtés)

pour les aires :

si x=2 alors NE=3,9 donc l'aire de NMPE=7,8cm²

si x=3,2 alors NE=3 donc l'aire de NMPE = 9,6 cm²

si x=5,8 alors NE=5 donc l'aire de NMPE=6,09 cm²