diviseurs

[sophieinfo]

Voici 2 exercices que je n'arrive pas à résoudre :

1- Trouver le plus petit nombre entier qui a 21 diviseurs.

2- Prouver qu'un carré parfait a un nombre impair de diviseurs.

[del20160715]

2- Prouver qu'un carré parfait a un nombre impair de diviseurs.

soit un carré parfait : 6 au carré

6 x 6 = 36

36 = 2x2x3x3

il a donc comme diviseurs :

2

3

2x2 = 4

2x3 = 6

3x3 = 9

2x2x3 = 12

2x3x3 = 18

Et aussi 1 et 36 car il peut être divisé par 1 et par lui même.

Ce qui fait en tout 9 diviseurs

[del20160715]

1- Trouver le plus petit nombre entier qui a 21 diviseurs.

2 puissance 20

Qui a comme diviseur :

1

2

2Puiss2

2Puiss3

2Puiss4

2Puiss5

2Puiss6

2Puiss7

2Puiss8

2Puiss9

2Puiss10

2Puiss11

2Puiss12

2Puiss13

2Puiss14

2Puiss15

2Puiss16

2Puiss17

2Puiss18

2Puiss19

2Puiss20

M'enfin 2Puiss20 ça fait 1 048 576

Euh... comme premier entier ayant 21 diviseurs, j'ai comme un doute

[600 SS]

Voilà ce que j'ai trouvé :

1ère question :

Soit un nombre n qui se décompose en facteurs premiers avec ses exposants de la façon suivante

n = 2 (puissance X) x 3 (puissance Y)

Le nombre de diviseurs de ce nombre n est égal à (X+1)x(Y+1) = 21

Dans ce cas là, 7x3 = 21

ou encore (6+1) (2+1) = 21

Par conséquent X=6 et Y=2

On a donc n = 2 (puissance 6) x 3 (puissance 2)

n = 576

2ème question :

Le carré parfait d'un nombre n se décompose en facteurs premiers de la même façon.

Dans le cas d'un carré parfait, les exposants des facteurs premiers sont des nombres pairs.

Par conséquent, si on rajoute 1 aux exposants des facteurs premiers pour calculer le nombre de diviseurs, ce dernier sera toujours impair.

Je ne sais pas si c'est très clair mon histoire.

600 SS

[del20160715]

On a donc n = 2 (puissance 6) x 3 (puissance 2)

n = 576

Je me disais bien

Par contre je saisis pas les + 1 dans (x+1) x (y+1)

D'où sortent-ils ?

[CILOU]

Azertynin :

- Si N se décompose en a puissance z x fois b puissance y x c puissance t....., avec a, b, c premiers alors il aura (x+1)(y+1)(t+1)... diviseurs. (théorème)

- dans ton premier message, tu ne fais pas de démonstration, mais tu prends un exemple (ce qui n'est pas valable comme démonstration).

[Nefer]

Azertynin,

quand on fait une décomposition en nbres premiers, on peut calculer directement le nbre de diviseurs à partir des exposants de la décomposition :

exemple :

12 = 2 x 2 x 3 = 2² + 3

(on prend les exposants auxquels on ajoute 1 et on les multiplie)

dc le nbre de diviseurs de 12 est = (2+1) (1+1) = 6

autre exemple :

4540725 = 5 x 5 x 3 x 3 x 3 x 7 x 31 x 31 = 5² x 33x 7 x 31²

dc le nbre de diviseurs de 4540725 est = (2+1) (3+1) (1+1) (2+1) = 72

[cocotte54]

Bonsoir,

Pour le 1er exercice je trouve moi aussi 576 :

nb de diviseurs = 21 = 7*3 (une seule décomposition possible)

le nb qu'on cherche s'écrit A puiss a * B puiss b et le nb de ses diviseurs = (a+1)*(b+1)

comme on cherche le plus petit nombre possible :

a+1 = 7

b+1 = 3

d'où a=6 et b=2 et A=2 B=3

donc 2 puiss 6 * 3 puiss 2 = 576

pour le deuxième exo :

N² = carré parfait

N=A puiss a * B puiss b * C puiss c ...

N² = A puiss 2a * B puiss 2b * C puiss 2c ...

le nombre de diviseurs de N² = (2a+1) (2b+1) (2c+1) ...

quelque soit a, b, c ... 2a+1 est impair, 2b +1 aussi ...

le produits de nombres impairs est impair donc le nombre de diviseurs d'un carré parfait est tjs impair.

Voilà