Nombres premiers & cribe d'Eratosthène

[LuteceOrgiaque]

Bonsoir,

Je suis en train de revoir les nombres premiers, notamment grâce au crible d'Eratosthène.

Et je voulais savoir si 0 et 1 étaient considérés ou pas comme des nombres premiers ? (et pourquoi)

Voilà voilà

merci beaucoup

[anelia]

Bonsoir,

Je suis en train de revoir les nombres premiers, notamment grâce au crible d'Eratosthène.

Et je voulais savoir si 0 et 1 étaient considérés ou pas comme des nombres premiers ? (et pourquoi)

Voilà voilà

merci beaucoup

pour moi 1 est premier, 0 non (car on ne peut pas le diviser par lui-même : division par 0 impossible)

[mistinguette28]

pour moi 1 n'est pas premier non plus, il n'a qu'un seul diviseur (les nombres premiers ont 2 diviseurs).

0 n'a aucun diviseur, donc pas premier non plus.

[catline]

Tous les nombres entiers non nuls son diviseurs de 0 il me semble.

1 est un peu particulier en effet, je ne le considère pas comme premier

[catline]

Tous les nombres entiers non nuls son diviseurs de 0 il me semble.

1 est un peu particulier en effet, je ne le considère pas comme premier

Sont pardon!

[anelia]

bon vos réponses m'ont fait douter donc wikipédia dit :

un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs : 1 et lui-même. Par opposition, un nombre non nul produit de deux nombres entiers différents de 1 est dit composé. Par exemple 12 = 2×6 est composé, tout comme 21 = 3×7 ou 7×3, mais 11 est premier car 1 et 11 sont les seuls diviseurs de 11. Les nombres 0 et 1 ne sont ni premiers ni composés. Les nombres premiers inférieurs à 100 sont :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

voilà ! ni 0 ni 1, vous aviez raison, merci pour cette révision !

[LuteceOrgiaque]

merci beaucoup

Je pensais que 1 était premier car divisible par lui-même et par 1 (logique, c'est lui) ^^.

Mais , avec les explications des uns et des autres, cela est plus clair.

[Dominique]

merci beaucoup

Je pensais que 1 était premier car divisible par lui-même et par 1 (logique, c'est lui) ^^.

Mais , avec les explications des uns et des autres, cela est plus clair.

Remarque : je pense qu'on a décidé de dire que 1 n'était pas un nombre premier car ça facilite l'énoncé de certains théorèmes (par exemple théorème sur l'unicité de la décomposition d'un nombre en un produit de nombres premiers)

[vinette4073]

par contre quand on utilise la décomposition en produit de facteurs premiers, jveux dire dans les problèmes, on prend en compte le fait que 1 divise tous les nombres?

c'est pas très clair mon truc

vous allez peut-être voir de quoi je veux parler:

quand on fait

36=3^2x4^1x1^1 pour savoir le nombre de diviseurs on rajoute un aux exposants: ça fait 7 diviseurs ou bien on ne compte pas le 1^1 et du coup ça fait 5 diviseurs?

pffffffff ça fume là haut

[vinette4073]

par contre quand on utilise la décomposition en produit de facteurs premiers, jveux dire dans les problèmes, on prend en compte le fait que 1 divise tous les nombres?

c'est pas très clair mon truc

vous allez peut-être voir de quoi je veux parler:

quand on fait

36=3^2x2^2x1^1 pour savoir le nombre de diviseurs on rajoute un aux exposants: ça fait 8 diviseurs ou bien on ne compte pas le 1^1 et du coup ça fait 6 diviseurs?

pffffffff ça fume là haut

[LuteceOrgiaque]

Pour moi de ce fait le 1 ne compte pas (même si potentiel).

[Dominique]

par contre quand on utilise la décomposition en produit de facteurs premiers, jveux dire dans les problèmes, on prend en compte le fait que 1 divise tous les nombres?

c'est pas très clair mon truc

vous allez peut-être voir de quoi je veux parler:

quand on fait

36=3^2x4^1x1^1 pour savoir le nombre de diviseurs on rajoute un aux exposants: ça fait 7 diviseurs ou bien on ne compte pas le 1^1 et du coup ça fait 5 diviseurs?

pffffffff ça fume là haut

Remarque préalable : 4 n'est pas un nombre premier donc "la bonne question" est : pour trouver le nombre de diviseurs faut-il partir de la formule 36 = 2² × 3² ou de la formule 36 = 1¹ x 2² × 3² (ou pourquoi pas de la formule 36 = 1²⁰⁰⁹× 2² × 3² ) ?

Réponse : la décomposition en un produit de nombre premiers de 36 est 36 = 2² × 3² (il n'y a pas de 1 car on décidé que 1 n'était pas un nombre premier ... justement pour éviter le fait de pouvoir écrire 1 à la puissance n'importe quoi...).

Le nombre de diviseurs de 36 est donc égal à (2 + 1) x (2 + 1) soit 9.

Vérification : les diviseurs de 36 sont les nombres 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36 (remarque : attention 1 n'est pas un nombre premier mais c'est bien un diviseur de 36 comme de tout autre nombre d'ailleurs).