Math Ac. Grenoble 2004

[del20160715]

Ex 1 : (3.5 pts)

Deux joueurs font la course à 10 par pas de 2 : chacun ajoute 1 ou 2 au résultat de son adversaire. Le gagnant est celui qui annonce 10 le premier.

Par exemple, dans la première partie le joueur A commence et dit 1, le joueur B dit 1+2 = 3, A dit : 3+2=5, B dit : 5+1=6, A dit : 6+2=8, B dit : 8+2=10 et gagne.

1 - Dans la deuxième partie, le joueur A arrive à 7 et dit à B : j'ai gagné !

Justifiez cette affirmation

2 - Dans la troisième partie, le joueur B commence, dit un nombre puis annonce : j'ai gagné !

Quel est ce nombre ?

3 - Le pas devient 3 : on ajoute 1, 2 ou 3.

Quel nombre le joueur qui commence la partie doit-il annoncer pour être sûr de gagner ?

4 - Dans la quatrième partie, le joueur A dit : faisons maintenant la course à 12, toujours par pas de 3, et c'est toi qui commence.

Expliquez pourquoi A est sûr de gagner.

5 - Dans la course à n par pas de 3, quelle(s) condition(s) doivent respecter les nombres n (n>3) pour que le joueur qui commence ait la certitude de gagner ?

Ex 2 (4.5 pts)

Soit ABC un triangle, I milieu de [AB] et J milieu de [AC]. Les droites (BJ) et (CI) se coupent en G. On note E le symétrique de A par rapport à G. Les droites (BC) et (AG) se coupent en K.

1 - Démontrez que les droites (IG) et (BE) sont parallèles

2 - Démontrez que BGCE est un parallélogramme

3 - Démontrez que la droite (AG) est la troisième médiane du triangle ABC.

Enoncez la propriété que vous avez démontrée.

4 - Les points B, C et G non alignés figurent sur l'annexe bidule. Avec une règle non graduée et un compas, construisez le triangle ABC tel que G soit son centre de gravité. Vous indiquerez votre procédure.

[cocotte54]

Bonsoir Azertynin,

je viens de faire la partie que tu as donnée mais je ne sais pas si je dois te dire ce que j'ai trouvé. Dis moi si tu veux que je te le dise?

En tous cas j'espère que ça c'est bien passé pour toi et les autres. Pour ma part j'aurais dû passer le concours sur Nancy aujourd'hui mais j'ai décidé de remettre le concours à l'année prochaine il y a quelque temps...

Bonne soirée.

Corinne

[del20160715]

Bonsoir Azertynin,

je viens de faire la partie que tu as donnée mais je ne sais pas si je dois te dire ce que j'ai trouvé. Dis moi si tu veux que je te le dise?

Je veux bien le premier exo :P

[Sandrina]

Merci Azertynin d'avoir pris le temps de recopier les exos ! C'est sympa de ta part

Plein de bonnes choses pour la suite

[chrystelle]

ah oui, merci azertyn, déjà le premier exo m'aurait bien aidé, c'est un tour de magie que je fais avec des pailles ou des bouts de bois pour les enfants de 10-12 ans. en fait, il faut trouver le chiffre qui permet à celui qui commence de gagner

ex : j'ai 15 pailles, je commence, j'ai droit d'en prendre un , deux ou trois. mais si je veux gagner, je dois prendre la 2, la 6 et la 10 mais si je n'y arrive pas, il me faut absolument la 10 ème pour gagner. il faut donc trouver dans cet exo, le chiffre, mais je ne me suis pas penchée dessus _bl_sh_

[cocotte54]

Bon je vais essayer de mettre au clair ce que j'ai sur mon brouillon. J'ai repondu de façon assez "expérimentale".

1 - Dans la deuxième partie, le joueur A arrive à 7 et dit à B : j'ai gagné !

Justifiez cette affirmation

A=7 donc B peut dire 8 ou 9 et donc A pourra compléter à 10 dans les deux cas donc si A dit 7 il gagne

2 - Dans la troisième partie, le joueur B commence, dit un nombre puis annonce : j'ai gagné !

Quel est ce nombre ?

si on reprend la première question on voit que le premier joueur à dire 7 a gagné donc on cherche ce que doit dire le joueur B (qui commence) pour être sûre qu'il dira 7 quelque soit ce que dira A

j'ai ensuite fait un arbre des réponses possibles

B....A....B.....A

...................4 et donc si B dit ensuite 1 ou 2 A complète à 7 et gagne

............3

...................5 B complète à 7 et gagne

......2

...................5 et B peut compléter à 7 et gagner

............4 et donc si A dit ensuite 1 ou 2 B complète à 7 et gagne

1.................6 idem

...................5 et B peut compléter à 7 et gagner

............4 et donc si A dit ensuite 1 ou 2 B complète à 7 et gagne

......3...........6 B complète à 7 et gagne

............5

...................7 (dc A gagne) donc dire 5 pour B = faire gagner A

la seule solution pour que B arrive à 7 à coup sûr c'est d'arriver à 4, pour arriver à 4 s'il dit 1 alors que A dise 2 ou 3 il y arrivera donc si B commence et dit 1 il gagne

(en faisant l'arbre à partir de 2 on constate tout de suite que A a alors la possibilité d'arriver à 4 et donc de gagner)

on remarque alors que si le but est d'arriver à 10 (appelons le n) par pas de 2 maxi de proche en proche le but est d'arriver à (n-3) qui ici vaut 7 puis à n-2*3 puis à n-3*3 ansi de suite jusqu'à ce que n-x*3 soit égal à une valeur du pas, le 3 (dans n-3) étant égal à pas maximum + 1

donc dans notre cas pour gagner qd on commence et qu'on doit atteindre 10 par pas de 2 maxi il faut donc atteindre 7 puis 4 puis 1

ceci dit je pense que rien que de faire l'arbre et d'expliquer ça suffisait

3 - Le pas devient 3 : on ajoute 1, 2 ou 3.

Quel nombre le joueur qui commence la partie doit-il annoncer pour être sûr de gagner ?

en reprenant ce qu'on vient de voir au-dessus on doit donc arriver à n-x*4 = 10 - x*4 = 1 ou 2 ou 3

si x=1 10-4 = 6

si x=2 10-8 = 2 et 2 fait partie des possibilités de départ donc si le joueur qui commence dit 2 il a gagné

en faisant le raisonnement avec l'arbre on arrive à la même chose

4 - Dans la quatrième partie, le joueur A dit : faisons maintenant la course à 12, toujours par pas de 3, et c'est toi qui commence.

Expliquez pourquoi A est sûr de gagner.

dans le cas de n = 12 on arrive à 8 puis 4 puis 0 donc si B commence et dit 1 ou 2 ou 3 alors A pourra dire 4 et donc gagnera

5 - Dans la course à n par pas de 3, quelle(s) condition(s) doivent respecter les nombres n (n>3) pour que le joueur qui commence ait la certitude de gagner ?

par pas de 3 on aura n - x*4 = 1 ou 2 ou 3, on vient de voir qu'avec 12 le joueur qui commence perd,

n-x*4 = 0 est donc un cas qui ne marche pas donc si n=x*4 le joueur qui commence perd, donc pour que le joueur qui commence gagne il faut que n ne soit pas un multiple de 4 (j'ai essayé avec plein de valeurs de n et ça a l'air de coller...)

Voilà ce que j'aurais répondu, maintenant c'est vrai que je n'ai pas démontré le modèle que j'ai obtenu

[tootsie]

Coucou Cocotte, j'ai fait et trouvé exactement comme toi, le problème, c'est que ca me semble tout a fait logique, mai pas tellement mathématique...

Domminiiiiiiiiquuuuuuuuueeeeeeee, qu'en pense tu ?

Ca serait, une fois de plus, sympa de nous dire ce que tu en pense quand tu auras 2 mn.

Merci

[bonnet_laetitia]

J'ai trouvé la meme chose hier....

Mais devant ma feuille, j'ai mis du temps à essayer d'expliquer... j'ai fait des arbres avec les arborescences possibles...

Du coup, pas le temps de réflechir sur la derniere queston du probleme !

Pour le 2eme exo, pareil, j'ai eu le temps de repondre à toutes les questions, mais voyant sur ma montre qu'une heure et demie est déjà ecoulé, j'ai laissé le dessin géometrique de coté... en pensant, j'y reviendrais tout à l'heure...

Résultat des courses, j'ai pas eu le temps d'y revenir !!!!!!!!!!!!

Laetitia

[del20160715]

Bon ben je me suis plantée sur le premier exo (sauf la première question). J'ai cru qu'on pouvait partir de n'importe quel nombre. Mais je crois qu'on est nombreux à avoir fait cette erreur. N'empêche que c'était pas dit dans l'énoncé qu'il fallait obligatoirement partir de 0, 1 ou 2 (pour le pas par 2) et de 0, 1, 2, ou 3 (pour le pas par 3) <_< bon, ok, c'est des sauts de 2 ou de 3 maxi, donc je me rends compte maintenant que ça coule de source, mais ça m'énerve quand même parce que si on regarde les questions 2 et 3 :

2 - Dans la troisième partie, le joueur B commence, dit un nombre puis annonce : j'ai gagné !

Quel est ce nombre ?

3 - Le pas devient 3 : on ajoute 1, 2 ou 3.

Quel nombre le joueur qui commence la partie doit-il annoncer pour être sûr de gagner ?

ça induit en erreur. Quel nombre ? J'ai pas percuté que le nombre devait être compris entre 0 et 2 pour le pas par 2 et entre 0 et 3 pour le pas par 3 cryin

Et donc pour la question deux j'ai répondu : 7 (ben wi, je venais de le démontrer à la question 1) et à la trois, je crois que j'ai répondu 6.

A la question 3 j'ai juste répondu que 12 était un multiple de 1, 2 ou 3 et que donc quel que soit le nombre annoncé au départ le deuxième joueur était sûr de gagner.

A la question 5 j'ai mis que la condition était que n ne soit pas à la fois multiple de 1, 2, 3 et 6. cryin

[violaine]

ah Azertynin bienvenue au club!!!!!

Moi aussi j'ai pas bien compris l'énoncé et j'ai cru aussi qu'on pouvait partir de n'importe quelle valeur.

Bon désolée pour toi, mais quelque part je me sens un peu moins stupide

[CéCé]

Perso, moi j'ai essayé de la faire et j'ai rien compris...aprsès mon cheri m'a ecxpliqu"é et j'ai compris! Je serais tombée sur un truc comme ça, c'est clair que je me serais trompée!!. _bl_sh_ ..et pourtant, je suis plutot matheuse...

A mon avis, y en a bcp qui ont dû se tromper...

courage pour la suite!

[Cortomalte]

Alors je viens juste de faire les 2 exos. Pour le 1er, merci à cocotte54 car je n'ai pas trop bien compris.

Je vous donne ce que j'ai pour le 2°

1/ Démontrer que IG et BE sont parallèles

Comme E est le symétrique de A par rapport à G, G est le milieu de [AE]. Le théorème des milieux appliqué au triangle ABE permet d'affirmer que la droite passant par le milieu des côtés d'un triangle est parallèle au 3° côté de ce triangle. Donc IG et BE sont parallèles.

3/ Démontrer que la droite AG est la 3° médiane du triangle

Comme I et J sont les milieux respectifs de [AB] et de [AC], (BJ) et (CI) sont les médianes du triangle ABC (elles passent par le sommet du triangle et le milieu du côté opposé). Leur point de concours G est le centre de gravité du triangle (ABC). La droite (AG) passe donc par le sommet A du triangle et par le centre de gravité donc c'est une médiane. Elle coupe [bC] en son milieu K.

2/ Démontrer que (BGCE) est un parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu. Il suffit donc de démontrer que (BC) et (GE) se coupent en leur milieu.

On sait déjà que K est le milieu de [bC]

Pour démontrer que K est aussi milieu de GE :

Comme G est le centre de gravité du triangle, AG = 2/3 . AK et GK = 1/3 . AK

Comme E est le symétrique de A par rapport à G, AG = GE

Et GE = GK + KE

On obtient que KE = 1/3 . AK or GK = 1/3 . AK

Donc GK = Ke donc K est le milieu de GE

Comme les diagonales de BECG se coupent en leur milieu, BECG est un parallélogramme.

4 / Procédure de construction

1- tracer le segment [bC]

2 - tracer la médiatrice de [bC] : elle coupe [bC] en son milieu M

3- tracer une demi-droite passant par M.

4- avec le compas reporter 2 fois une distance MU quelconque et noter U1 puis U2.

5- tracer le segment UG. On doit ensuite tracer le parallélogramme GUU2G' pour avoir la parallèle à UG passant par U2 : elle coupe la droite MG en A.

tracer du parallélogramme : report de la mesure de UG à partir de U2 et report de UU2 à partir de G. L'intersection des 2 arcs de cercles est le point G'.

6- relier C et A, et B et A à la règle.

question : existe -t-il une autre façon pour pourvoir faire le 2 avant le 3 (démontrer que BGCE est un parallélogramme ??

Merci d'avance.