Exercices

[nainess]

Bonjour,

j'ai 2 exercices dont je n'ai pas les corrigés! Si vous avez le temps, vous pourriez les faire? (c'est un prof d'Iufm qui me les a passé donc ça fait un entrainement )

Un nombre entier naturel N est dit parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs positifs autres que lui-même.

Par exemple, 28 est parfait. Ses diviseurs sont 1.2.4.7.14.28. et 1+2+4+7+14=28

1) Montrer que 6 et 496 sont parfaits.

2) 120 est-il parfait?

3) On admet qu'un nombre entier pair N est parfait ssi il est de la forme : N = 2^n (2^n+1 - 1)

n étant un entier supérieur ou égal à 1 tel que (2^n+1 - 1) soit un nombre premier.

a) Appliquer la formule pour n compris entre 1 et 4. Quels résultats trouve-t-on?

b) Les nombres premiers compris entre 100 et 150 sont : 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149

En utilisant la propriété ci-dessus, déterminer le plus petit nombre parfait pair supérieur au nombre 496.

a, b, c désignent 3 chiffres distincts et différents de 0.

A cet ensemble de 3 chiffres, on associe la famille de 6 nombres à 3 chiffres qui s'écrivent en utilisant une fois a, une fois b et une fois c.

Par exemple, aux trois chiffres 2,5,7, on associe la famille des six nombres: 257, 275, 527, 572, 725, 752

On appelle S la somme de ces 6 nombres et M leur moyenne.

1) Calculer S et M correspondant à la famille donnée en exemple.

2) Montrer que dans le cas général on a : M = 37(a+b+c)

3) Trouver tous les ensembles de 3 chiffres distincts et différents de 0 permettant de former une famille dont la moyenne M de ces 6 nombres vaut 370.

[mongolfier]

Bonjour,

j'ai 2 exercices dont je n'ai pas les corrigés! Si vous avez le temps, vous pourriez les faire? (c'est un prof d'Iufm qui me les a passé donc ça fait un entrainement )

Un nombre entier naturel N est dit parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs positifs autres que lui-même.

Par exemple, 28 est parfait. Ses diviseurs sont 1.2.4.7.14.28. et 1+2+4+7+14=28

1) Montrer que 6 et 496 sont parfaits.

2) 120 est-il parfait?

3) On admet qu'un nombre entier pair N est parfait ssi il est de la forme : N = 2^n (2^n+1 - 1)

n étant un entier supérieur ou égal à 1 tel que (2^n+1 - 1) soit un nombre premier.

a) Appliquer la formule pour n compris entre 1 et 4. Quels résultats trouve-t-on?

b) Les nombres premiers compris entre 100 et 150 sont : 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149

En utilisant la propriété ci-dessus, déterminer le plus petit nombre parfait pair supérieur au nombre 496.

a, b, c désignent 3 chiffres distincts et différents de 0.

A cet ensemble de 3 chiffres, on associe la famille de 6 nombres à 3 chiffres qui s'écrivent en utilisant une fois a, une fois b et une fois c.

Par exemple, aux trois chiffres 2,5,7, on associe la famille des six nombres: 257, 275, 527, 572, 725, 752

On appelle S la somme de ces 6 nombres et M leur moyenne.

1) Calculer S et M correspondant à la famille donnée en exemple.

2) Montrer que dans le cas général on a : M = 37(a+b+c)

3) Trouver tous les ensembles de 3 chiffres distincts et différents de 0 permettant de former une famille dont la moyenne M de ces 6 nombres vaut 370.

Etant donné que le premier exo, je l'ai déjà fait en spé maths cette année (j'avais même eu la chance de démontrer la formule, quel souvenir traumatisant ), je ne vais répondre qu'au deuxième, trés intéressant à dire vrai.

1) S=3108

M=S/6=518 (car moyenne d'une somme de trois nombres)

2) Il y a 3!= 6 combinaisons possibles (permutation sur un ensemble de trois éléments)

abc = 100a+10b+c

acb = 100a+10c+b

bac = 100b+10a+c

bca = 100b+10c+a

cab = 100c+10a+b

cba = 100c+10b+a

S= abc+acb+bac+bca+cab+cba= 222a+222b+222c= 222(a+b+c)

M=S/6 car moyenne d'une somme de trois nombres

donc M=(a+b+c)*222/6= 37(a+b+c)

3) l'ensemble, appelé D, est D={(1;2;7),(1;3;6),(1;4;5),(2;5;3)}

C'est bien ça ?

[o0marion0o]

1) Montrer que 6 et 496 sont parfaits.

les diviseurs de 6 sont : 1 ; 2 ; 3 et 6 . On a bien 1 + 2 + 3 = 6 donc 6 est parfait

les diviseurs de 496 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 31 ; 62 ; 124 ; 248 et 496 . On a 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496 donc ce nombre est parfait.

2) 120 est-il parfait?

les diviseurs de 120 sont : 1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;20,24;30;40;60 et 120 or la somme de ses diviseurs (sauf 120) est égale à 240

donc 120 n'est pas parfait

3) On admet qu'un nombre entier pair N est parfait ssi il est de la forme : N = 2^n (2^n+1 - 1)

n étant un entier supérieur ou égal à 1 tel que (2^n+1 - 1) soit un nombre premier.

a) Appliquer la formule pour n compris entre 1 et 4. Quels résultats trouve-t-on?

pour n= 1 on obtient N = 6

pour n = 2 on obtient N = 28

pour n = 3 on obtient N = 120 mais (2^n+1-1) n'est pas un nombre premier d'ou le fait que 120 ne soit pas parfait.

pour n = 4 on obtient N = 496

b) Les nombres premiers compris entre 100 et 150 sont : 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149

En utilisant la propriété ci-dessus, déterminer le plus petit nombre parfait pair supérieur au nombre 496.

on cherche un nombre N premier, compris entre 100 et 150 tel que N+1 = 2^n (pour que la formule puisse se vérifier), le plus petit nombre N correspondant à ces caracteristiques est 127.

127 + 1 = 2 ^7

on a donc

2^6 (2^6+1 - 1) = 64 x 128 = 8192.

Le plus petit nombre parfait supérieur à 496 est 8192.

[nainess]

montgolfier, j'ai tout comme toi Ca me rassure merci!!

marion, tout pareil sauf pour la dernière question, je n'ai pas le même nombre : j'ai 8128 car j'ai fait 64 x 127 Tu n'as pas oublié de retirer - 1 ? Ou c'est moi qui ait retiré un 1 en trop?

[o0marion0o]

non l'erreur vient bien de moi ! j'ai en effet oublié de soustraire 1 à 128, merci !

[nainess]

Merci beaucoup pour vos réponses (je ne suis jamais sûre des miennes, alors quand il n'y a pas de corrigé...)