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nainess

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Bonjour,

j'ai 2 exercices dont je n'ai pas les corrigés! Si vous avez le temps, vous pourriez les faire? (c'est un prof d'Iufm qui me les a passé donc ça fait un entrainement :wink: )

Un nombre entier naturel N est dit parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs positifs autres que lui-même.

Par exemple, 28 est parfait. Ses diviseurs sont 1.2.4.7.14.28. et 1+2+4+7+14=28

1) Montrer que 6 et 496 sont parfaits.

2) 120 est-il parfait?

3) On admet qu'un nombre entier pair N est parfait ssi il est de la forme : N = 2^n (2^n+1 - 1)

n étant un entier supérieur ou égal à 1 tel que (2^n+1 - 1) soit un nombre premier.

a) Appliquer la formule pour n compris entre 1 et 4. Quels résultats trouve-t-on?

b) Les nombres premiers compris entre 100 et 150 sont : 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149

En utilisant la propriété ci-dessus, déterminer le plus petit nombre parfait pair supérieur au nombre 496.

a, b, c désignent 3 chiffres distincts et différents de 0.

A cet ensemble de 3 chiffres, on associe la famille de 6 nombres à 3 chiffres qui s'écrivent en utilisant une fois a, une fois b et une fois c.

Par exemple, aux trois chiffres 2,5,7, on associe la famille des six nombres: 257, 275, 527, 572, 725, 752

On appelle S la somme de ces 6 nombres et M leur moyenne.

1) Calculer S et M correspondant à la famille donnée en exemple.

2) Montrer que dans le cas général on a : M = 37(a+b+c)

3) Trouver tous les ensembles de 3 chiffres distincts et différents de 0 permettant de former une famille dont la moyenne M de ces 6 nombres vaut 370.

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Bonjour,

j'ai 2 exercices dont je n'ai pas les corrigés! Si vous avez le temps, vous pourriez les faire? (c'est un prof d'Iufm qui me les a passé donc ça fait un entrainement :wink: )

Un nombre entier naturel N est dit parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs positifs autres que lui-même.

Par exemple, 28 est parfait. Ses diviseurs sont 1.2.4.7.14.28. et 1+2+4+7+14=28

1) Montrer que 6 et 496 sont parfaits.

2) 120 est-il parfait?

3) On admet qu'un nombre entier pair N est parfait ssi il est de la forme : N = 2^n (2^n+1 - 1)

n étant un entier supérieur ou égal à 1 tel que (2^n+1 - 1) soit un nombre premier.

a) Appliquer la formule pour n compris entre 1 et 4. Quels résultats trouve-t-on?

b) Les nombres premiers compris entre 100 et 150 sont : 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149

En utilisant la propriété ci-dessus, déterminer le plus petit nombre parfait pair supérieur au nombre 496.

a, b, c désignent 3 chiffres distincts et différents de 0.

A cet ensemble de 3 chiffres, on associe la famille de 6 nombres à 3 chiffres qui s'écrivent en utilisant une fois a, une fois b et une fois c.

Par exemple, aux trois chiffres 2,5,7, on associe la famille des six nombres: 257, 275, 527, 572, 725, 752

On appelle S la somme de ces 6 nombres et M leur moyenne.

1) Calculer S et M correspondant à la famille donnée en exemple.

2) Montrer que dans le cas général on a : M = 37(a+b+c)

3) Trouver tous les ensembles de 3 chiffres distincts et différents de 0 permettant de former une famille dont la moyenne M de ces 6 nombres vaut 370.

Etant donné que le premier exo, je l'ai déjà fait en spé maths cette année (j'avais même eu la chance de démontrer la formule, quel souvenir traumatisant :cry: ), je ne vais répondre qu'au deuxième, trés intéressant à dire vrai.

1) S=3108

M=S/6=518 (car moyenne d'une somme de trois nombres)

2) Il y a 3!= 6 combinaisons possibles (permutation sur un ensemble de trois éléments)

abc = 100a+10b+c

acb = 100a+10c+b

bac = 100b+10a+c

bca = 100b+10c+a

cab = 100c+10a+b

cba = 100c+10b+a

S= abc+acb+bac+bca+cab+cba= 222a+222b+222c= 222(a+b+c)

M=S/6 car moyenne d'une somme de trois nombres

donc M=(a+b+c)*222/6= 37(a+b+c)

3) l'ensemble, appelé D, est D={(1;2;7),(1;3;6),(1;4;5),(2;5;3)}

C'est bien ça ?

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1) Montrer que 6 et 496 sont parfaits.

les diviseurs de 6 sont : 1 ; 2 ; 3 et 6 . On a bien 1 + 2 + 3 = 6 donc 6 est parfait

les diviseurs de 496 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 31 ; 62 ; 124 ; 248 et 496 . On a 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496 donc ce nombre est parfait.

2) 120 est-il parfait?

les diviseurs de 120 sont : 1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;20,24;30;40;60 et 120 or la somme de ses diviseurs (sauf 120) est égale à 240

donc 120 n'est pas parfait

3) On admet qu'un nombre entier pair N est parfait ssi il est de la forme : N = 2^n (2^n+1 - 1)

n étant un entier supérieur ou égal à 1 tel que (2^n+1 - 1) soit un nombre premier.

a) Appliquer la formule pour n compris entre 1 et 4. Quels résultats trouve-t-on?

pour n= 1 on obtient N = 6

pour n = 2 on obtient N = 28

pour n = 3 on obtient N = 120 mais (2^n+1-1) n'est pas un nombre premier d'ou le fait que 120 ne soit pas parfait.

pour n = 4 on obtient N = 496

b) Les nombres premiers compris entre 100 et 150 sont : 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149

En utilisant la propriété ci-dessus, déterminer le plus petit nombre parfait pair supérieur au nombre 496.

on cherche un nombre N premier, compris entre 100 et 150 tel que N+1 = 2^n (pour que la formule puisse se vérifier), le plus petit nombre N correspondant à ces caracteristiques est 127.

127 + 1 = 2 ^7

on a donc

2^6 (2^6+1 - 1) = 64 x 128 = 8192.

Le plus petit nombre parfait supérieur à 496 est 8192.

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montgolfier, j'ai tout comme toi :smile: Ca me rassure merci!!

marion, tout pareil sauf pour la dernière question, je n'ai pas le même nombre : j'ai 8128 car j'ai fait 64 x 127 Tu n'as pas oublié de retirer - 1 ? Ou c'est moi qui ait retiré un 1 en trop? :blush:

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:wink: Merci beaucoup pour vos réponses :smile: (je ne suis jamais sûre des miennes, alors quand il n'y a pas de corrigé...)
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