Question sur les nombres...

[Mogwli]

Mais lorsqu'il s'agit de réviser cette notion plus tard - et c'est ce que faisais en sixième jusqu'à ma retraite ( et ça doit donc marcher en CM au moins) - j'avais l'habitude de tracer au tableau un gros 5 et un petit 7, de les faire copier sur le cahier d'exercices et de poser pour le lendemain les deux questions :

- Quel est le plus grand des deux nombres 5 et 7 ?

- Quel est le plus grand des deux chiffres 5 et 7 ?

En général, ça déclenchait des discussions importantes à la maison au repas du soir et on pouvait avoir d'aussi intéressantes discussions le lendemain.

Bon courage à ceux qui bossent.

MD

Je crois que j'aurais adoré tes cours de maths !

Et mes parents aussi !

[MichelDelord]

Mais lorsqu'il s'agit de réviser cette notion plus tard - et c'est ce que faisais en sixième jusqu'à ma retraite ( et ça doit donc marcher en CM au moins) - j'avais l'habitude de tracer au tableau un gros 5 et un petit 7, de les faire copier sur le cahier d'exercices et de poser pour le lendemain les deux questions :

- Quel est le plus grand des deux nombres 5 et 7 ?

- Quel est le plus grand des deux chiffres 5 et 7 ?

En général, ça déclenchait des discussions importantes à la maison au repas du soir et on pouvait avoir d'aussi intéressantes discussions le lendemain.

Bon courage à ceux qui bossent.

MD

Je crois que j'aurais adoré tes cours de maths !

Et mes parents aussi !

Merci, enfant de la jungle (de l'enseignement)

Tu remercieras aussi les loups, tes parents d'adoption puisqu'ils m'auraient bien aimé …

Donc je te dédie la page de cours de maths, http://michel.delord.free.fr/cours-math.html comme tu peux le constater.

Voilà infra un exemple de scénario du type donné supra - qui plait aux parents et aux élèves - à propos

de l'apprentissage des tables de multiplications.

Mais d'abord une petite explication pour que ce que je propose ne prête pas à confusion.

A) REMARQUES PÉDAGOGIQUES

1) Puisque j'ai un peu de temps à la retraite, je peux essayer de donner quelques idées possiblement utiles tirées de ce que j'ai fait comme prof de maths en lycée et surtout en collège et dont une partie était, et pas seulement en sixième !!! , une révision du primaire. Ce n'était certes pas des cours de primaire : par exemple, un cours de CM1 correspond à ce que doit apprendre un élève qui a les prérequis pour comprendre ce cours. Mais je faisais souvent des « revisions » … de choses qui n'avaient jamais été apprises. Et par contre les élèves savaient, mal donc, des choses qui étaient des conséquences logiques …de ce qu'ils n'avaient pas appris et ne savaient pas. Donc, si mes cours n'étaient pas à proprement parler des cours et en particulier des cours de primaire, ils portaient sur les mêmes contenus et ils peuvent donc en ce sens avoir un intérêt.

2) Je pars de l'hypothèse que si quelqu'un a une bonne formation sur la matière qu'il enseigne et s'il a le désir de faire comprendre aux élèves, il arrivera, peut-être avec des difficultés et du temps, mais il arrivera à faire passer les connaissances qu'il a choisi de faire passer et qu'en fait il arrivera à se construire une pédagogie. La raison essentielle de cette position est qu'il faut une forte maîtrise de la matière que l'on enseigne pour avoir le temps et la disponibilité d'esprit pendant le cours pour pouvoir se concentrer sur la pédagogie, avoir une forte réactivité aux réactions des élèves etc … sans avoir de doutes sur la validité du contenu que l'on enseigne..

3) Ceci explique un peu le contenu des fichiers de cours que l'on trouve ou trouvera sur mon site à My link qui sont surtout à contenu disciplinaire puisque dans mon esprit je laisse toute liberté de méthode à celui qui les lit et les utilise. Autrement dit, il ne faut pas s'attendre - même si ça arrivera - à y trouver systématiquement un produit fini « prêt à enseigner » mais je m'efforcerai d'y placer tout ce qui est nécessaire en terme de contenu mathématique à un enseignant pour « préparer son cours » et construire ce produit fini qui lui est personnel.

Par contre je pense qu'il faut « problématiser » les connaissances, c'est-à-dire que ce que l'on enseigne doit être la réponse à une question que peut comprendre l'élève, question qu'il peut se poser de lui-même ou que l'on peut l'amener à se poser. Et il faut - autant que possible bien sûr - les « scénariser » et c'est pourquoi je commence par cet exemple de scénario que j'ai longtemps utilisé pour faire apprendre les tables de multiplication. Et qui ne marchait pas mal .

B) TABLES MULTIPLICATIONS JUSQU'À 20 FOIS 20

1) Vous pouvez consulter le fichier My link

Il expose les différentes méthodes A, B, C, D et E qui permettent à la fin de connaître toutes ses tables jusqu'à 20 fois 20. Il ne se substitue pas à ce qui doit être fait normalement pour apprendre les tables de multiplication et que l'on trouve dans tout bon manuel. C'est en quelque sorte un complément sur deux points principaux :

- utilisation d'une méthode digitale pour apprendre les produits de deux entiers compris entre 6 et 10 (méthode B dans le polycop) que j'utilise depuis trente ans

- multiplication mentale rapide de deux nombres compris entre 11 et 19 ( méthode D dans le polycop)

Et lorsque les méthodes B et D ont été utilisées suffisamment souvent, l'élève connaît par cœur ses tables, ce qui est indispensable dans de nombreux domaines et notamment ... en maths.

2) Il faut scénariser les apprentissages et voici un scénario que j'utilisais régulièrement :

Le jour de la rentrée en sixième, au début de la première heure de cours, je disais de manière nonchalante " Qui sait ses tables par cœur jusqu'à 20 fois 20 ?"

Surprise des élèves. Personne , bien sûr.

Et j'ajoute, toujours aussi décontracté "Bon, on prendra cinq minutes à la fin de l'heure pour apprendre toutes les tables jusqu'à 20 fois 20".

Réponse , "Mais monsieur, c'est trop court ". " On a déjà du mal à les apprendre jusqu'à 10 "

Moi : "Mais non." Etc etc ..

L'heure avance et l'ambiance monte "Msieur, n'oubliez pas pour la fin de l'heure" .

Et à la fin de l'heure, j'explique la méthode en 3/4 minutes.

Par exemple pour calculer 17 fois 18, j'explique en écrivant au tableau :

Pour multiplier les deux nombres

- on ajoute à un nombre les unités de l'autre ,

17 + 8 = 25 ou

18 + 7 = 25

- on ajoute zéro à droite du résultat obtenu

250

- on multiplie les unités entre elles

7× 8 = 56

- on ajoute les deux résultats obtenus

250 + 56 = 306

et donc 17 × 18 = 306

En gros entre un quart et une moitié de la classe comprend la méthode au premier exemple. Et deux exemples après, les ¾ de la classe ont compris. Et je dis : « Entraînez-vous d'abord en écrivant, ensuite en écrivant simplement la question, ensuite en faisant tout oralement. Expliquez-vous les uns aux autres. Ensuite faites un pari avec vos parents : Qu'est ce que tu me donnes si je sais calculer de tête les multiplications de deux nombres compris entre 11 et 19 ? ».

Et au cours suivant, - ou mieux la semaine suivante, car je fais traîner -

a) On discute des difficultés pour connaître les résultats jusqu'à 20 fois 20 et c'est là que j'introduis le calcul digital ( méthode B du polycop) pour ceux qui ne connaissent pas leur tables jusqu'à 10.

b) Je fais, en sixième, la démonstration géométrique qui justifie la méthode D ( fin du fichier tables-mult20.pdf ) et là ils sont étonnés que l'on puisse justifier du calcul mental par de la géométrie et j'en profite pour faire une petite piqûre théorique pour dire que, en maths, il est important de considérer une même chose sous des angles différents (Et c'est aussi utile dans tous les domaines, mais c'est une autre histoire).

2) Autre utilisation en troisième ou seconde ( je le faisais en cinquième si j'avais eu les élèves en sixième puisqu'ils connaissaient leurs tables jusqu'à 20 fois 20) . Dire aux élèves :

Considérer la question suivante "Il y a eu sur un produit deux augmentations successives de x% et y% . Quelle est le pourcentage d'augmentation total ?" . Choisissez x et y parmi 10, 20, 30, 40 , 50 , 60 70, 80, 90 et demandez moi le pourcentage d'augmentation total, je répondrai de tête. Allez y.

Et s'ils me demandent : Si l'on a deux augmentations successives de 70 % et 80 %, quelle est le taux d'augmentation final ?, je réponds en moins de dix secondes : 206%

Et tout le monde demande comment il faut faire ....

Réponse : s'il y a eu successivement une augmentation de 70% puis une de 80%, le prix initial a été multiplié successivement par 1+70/100 = 1,70 et par 1+80/100 = 1,80, c'est-à-dire finalement par 1,7 × 1,8 = 3,06.

Mais 3,06 = 1+ 2,06 = 1 + 206/100 . Il s'agit donc d'une augmentation de 206%

Et voilà.

Mais ce ne sont que des pistes ...

Michel Delord

Remarques :

Ia) Ce qui est pervers est de faire apprendre ses tables à un élève sans qu'il les utilise ; ce qui fait qu'il ne les connaît plus et que l'apprentissage des tables devient un pensum dont l'élève ne voit pas l'utilité.

Ib) La meilleure méthode pour que les élèves connaissent leur tables est de leur faire faire chaque jour une division - à l'ancienne , cad sans poser les soustractions - du type 4537 par 23 ou 21732 par 244 ( 4 ou 5 chiffres par 2 ou 3 chiffres )

Ic) Pour ceux qui ne seraient pas convaincus par la nécessité de savoir faire à la main des divisions du type donné supra en II), lire

"Pourquoi apprendre à faire les opérations à la main ?"

II) La question de fond pour la réussite de ce genre de choses - et d'une leçon en général - est que les élèves aient tous les préerequis … sauf le dernier , c'est-à-dire la compréhension même de l'objet de la leçon.

Dans le cas de l'apprentissage des tables de 11×11 à 19×19, deux prérequis importants sont

-la connaissance des tables jusqu'à 10×10

-savoir additionner de tête* un nombre à trois chiffres et un nombre à deux chiffres

* de tête ou en calcul mental signifie précisément que rien n'est écrit – en particulier pas la question – sauf la réponse quand c'est une interrogation collective. On peut pour préparer cette étape autoriser l'écriture de la question mais le but reste bien qu'il n'y ait que le résultat final qui soit écrit.

III) C'est un exemple intéressant dans lequel, comme le résultat impressionne les élèves, il est beaucoup plus pertinent d'apprendre d'abord à « faire sans comprendre » et ne donner qu'ensuite les raisons qui font que ça marche.

[Invité mufab]

Je connaissais un peu de loin la méthode "digitale", et un de mes collègues qui me remplaçait a essayé de l'apprendre à mes Ce2 l'an passé. Echec total, sauf pour 2 élèves très brillants, et qui n'avaient de toutes façons aucun problème à les mémoriser ou à les retrouver, ou à multiplier arpidement quand c'est plus complexe.

Mais là je suis 100% d'accord :

Ce qui est pervers est de faire apprendre ses tables à un élève sans qu'il les utilise ; ce qui fait qu'il ne les connaît plus et que l’apprentissage des tables devient un pensum dont l’élève ne voit pas l’utilité.

Alors ce que je fais, quand ils apprennent la table de 4 -par exemple- ça dure une semaine voire plus (et je suis plus en Ce2 sur une logique d'additions ou de soustractions réitérées pour retrouver un résultat à partir de quelques-uns plus mémorisables), je ne donne que ses situations où il faudra l'utiliser - ça peut-être x34 aussi. Avec des pièges, évidemment (parce que sinon, ils te multiplient tout, ça devient une routine)). La division non, pas encore.

Et aussi l'utilisation des quadrillages, par découpage d'un grand en plus petits, ça les aide à comprendre les multiplications à 2 chiffres après.

Excuse-moi, tu ne t'adressais pas directement à moi, mais comme je n'ai rien d'autre à faire aujourd'hui... Et en plus je ne suis pas sûre d'avoir tout compris, car j'ai fait Lettres .

[MichelDelord]

Mufab :

Je connaissais un peu de loin la méthode "digitale", et un de mes collègues qui me remplaçait a essayé de l'apprendre à mes Ce2 l'an passé. Echec total, sauf pour 2 élèves très brillants, et qui n'avaient de toutes façons aucun problème à les mémoriser ou à les retrouver, ou à multiplier arpidement quand c'est plus complexe.

MD : Je n’ai jamais utilisé la méthode digitale que dans les types de situation que j’évoque dans mon exemple, c'est-à-dire jamais dans une situation d’apprentissage initial des tables.

Ce que tu me dis est vraiment intéressant et ne m’étonne donc pas trop car pratiquer le mécanisme digital donne certes le résultat mais ne montre pas pourquoi on trouve le bon résultat - c’est même assez dur à comprendre - et je pense que c’est pour cela que le mécanisme digital ne peut pas être utilisé dans la phase initiale d’apprentissage comme on peut utiliser un boulier qui lui non seulement permet de trouver le résultat mais montre de manière relativement transparente comment on le trouve.

Donc OK la méthode digitale est utile mais seulement comme remédiation et en particulier pour retrouver les résultats « difficiles comme 6 fois 7 , 7 fois 8 , 8 fois 8 qui sont d’ailleurs tous dans son domaine.

Mu fab :

Alors ce que je fais, quand ils apprennent la table de 4 -par exemple- ça dure une semaine voire plus (et je suis plus en Ce2 sur une logique d'additions ou de soustractions réitérées pour retrouver un résultat à partir de quelques-uns plus mémorisables), je ne donne que ses situations où il faudra l'utiliser - ça peut-être x34 aussi.

MD : Bon, je ne comprends pas bien : tu veux dire que quand tu fais la table de 4 tu ne donnes que des problèmes d’application ?

Et pour le « ça peut-être x34 aussi. » il doit y avoir une coquille. Non ?

Mufab :Avec des pièges, évidemment (parce que sinon, ils te multiplient tout, ça devient une routine).

MD : O K

Mufab La division non, pas encore.

MD : OK mais pourquoi ?

Mufab : Excuse-moi, tu ne t'adressais pas directement à moi,

MD : Non, effectivement mais ça ne veut pas dire que je ne m’adressais pas à toi du tout

Mufab : mais comme je n'ai rien d'autre à faire aujourd'hui... Et en plus je ne suis pas sûre d'avoir tout compris, car j'ai fait Lettres

.

MD : bon , je ferai un effort.

Merci pour la réponse

Qu’est-ce que tu n’as pas compris ?

Michel

[Invité mufab]

Mu fab :

Alors ce que je fais, quand ils apprennent la table de 4 -par exemple- ça dure une semaine voire plus (et je suis plus en Ce2 sur une logique d'additions ou de soustractions réitérées pour retrouver un résultat à partir de quelques-uns plus mémorisables), je ne donne que des situations où il faudra l'utiliser - ça peut-être x34 aussi.

MD : Bon, je ne comprends pas bien : tu veux dire que quand tu fais la table de 4 tu ne donnes que des problèmes d’application ?

Oui et non. Je privilégie momentanément les opérations ou les problèmes avec x4 dedans.

Et pour le « ça peut-être x34 aussi. » il doit y avoir une coquille. Non ?

ça ne s'appelle pas une "coquille", mais une "ellipse".

Alors je développe :

- au début, ils utilisent la table de Pythagore, pour résoudre des multiplications;

- l'ignorance temporaire des tables (sauf celle de 10, trop fastoche) n'empêche donc pas de résoudre une multiplication à 2 chiffres (même si c'est lourd, ça leur montre au moins que c'est lourd). Si tu es d'accord, on peut continuer;

- pour l'apprentissage "automatisé" des tables, on commence par 2, puis 3, puis 4, etc.

- en conséquent, je peux leur demander de ranger leur outil (Pythagore) si on cherche quelque chose fois 34.

Mufab La division non, pas encore.

MD : OK mais pourquoi ?

Trop c'est trop. Si on pouvait laisser ça au Cm1...

Tu vas me dire : ben oui, mais tu pourrais utiliser la multiplication "à trou" pour résoudre des problèmes de partage.

Oui, je pourrais. Des fois,en juin, pour certains...

Mufab : mais comme je n'ai rien d'autre à faire aujourd'hui... Et en plus je ne suis pas sûre d'avoir tout compris, car j'ai fait Lettres

.

MD : bon , je ferai un effort.

Merci pour la réponse

Qu’est-ce que tu n’as pas compris ?

Michel

La méthode digitale, c'est déjà trop compliqué pour moi. Mais c'est vrai que j'ai eu beaucoup de mal à retenir les résultats du "carré de la mort" (ce sont les élèves garçons qui l'appellent comme ça), en bas à droite.

Alors j'additionnais ou je soustrayais. ça m'arrive encore.

[Invité mufab]

On s'est quand même un peu éloignés du sujet initial. Il vaut mieux demander pardon tout de suite.