Besoin d'aide sur un exo

[ben26]

Bonsoir,

j'aurais besoin d'une petite aide sur un exo de math.

Voici l'énoncé :

On enlève un bord de 1 cm de large à une feuille de papier

rectangulaire. Le rectangle obtenu a une aire égale à la moitié de

l’aire du rectangle initial. Si le périmètre du rectangle initial était de

20 cm, son aire, en centimètres carrés, était de :

A : 24 B : 26 C : 28 D : 30 E : 32

Le corrigé indique la réponse E mais il n'y a pas la justification et je n'arrive pas à retomber dessus.

Si quelqu'un pouvait m'aider ça serait sympa.

Merci d'avance et bon courage pour cette dernière ligne droite

[vieuxmatheux]

Ici, l'algèbre est bien pratique.

Si tu désignes par L la longueur du rectangle initial et par l sa largeur, le rectangle obtenu en enlevant la bande a pour dimensions L-2 et l-2

L'aire du premier est L x l celle du deuxième (L-2) x (l-2) soit Ll -2L -2l + 4

L'aire du grand est le double de celle du petit, ce qui se traduit par L x l = 2 ( Lxl -2L -2l + 4 )

En transformant un peu l'écriture on obtient L x l = 4L + 4l -8 ou encore, si on désigne par A l'aire du rectangle et par P son périmètre, A = 2P -8 ce qui correspond bien à la réponse fournie

[Ekole]

Bonsoir

Vieuxmatheux, tu es le digne apprenti du Professeur Layton!

[ben26]

Merci beaucoup,

j'ai bien compris le cheminement.

Par contre je comprend pas d'où viennent L-2 et l-2 alors que l'on enlève une bande de 1cm de large

[kascollet]

Merci beaucoup,

j'ai bien compris le cheminement.

Par contre je comprend pas d'où viennent L-2 et l-2 alors que l'on enlève une bande de 1cm de large

1cm de chaque côté, ça fait bien 2cm au total (pour la largeur et la longueur)

[Ekole]

La bande fait le tour du rectangle. Donc tu as 1cm en moins pour chaque longueur ça fait 2cm) et 1cm en moins pour chaque largeur (ça fait 2cm)!

[ben26]

oké merci beaucoup.

C'est simplement que j'avais mal interprété l'énoncé.

J'avais pas compris qu'on enlevé tout le tour une bande de 1cm.

[MiCetF]

Proposition pour une autre manière de procéder, moins algébrique :

Imaginez la bande qu'on enlève (rouge et bleue ci-dessous).

Elle a la même surface que la surface qui va rester.

(C'est lié à ce que dit cette phrase : Le rectangle obtenu (jaune) a une aire égale à la moitié de l’aire du rectangle initial (jaune+bande rouge et bleue).

Or que vaut l'aire de cette bande : 1cm x 20cm = 20 cm² ?

Non ! Dans ce cas là, on compterait l'aire de tous les carrés bleus deux fois (4 x 1 cm²).

(Imaginez cette bande de 20 cm de long sur 1 cm de large, que l'on replie pour faire la bordure du rectangle : à chaque angle, il y aura superposition)

L'aire de cette bande est donc de 20 cm² - 4 cm² = 16 cm².

Le rectangle initial avait donc une aire de 2x16 = 32cm².

Pour résumer, l'aire recherchée = 2 x (20-4) = 32 cm².

[vieuxmatheux]

Excellent, je suis un peu honteux (et jaloux) de m'être précipité dans la voie algébrique alors qu'elle n'est effectivement pas nécessaire : cette solution est beaucoup plus dans l'esprit de l'école élémentaire.

Par ailleurs, ça répond clairement à un autre message qui demandait si la réponse doit être conforme au corrigé : non non et non, les deux solutions proposées ici sont acceptées de la même façon, avec en plus un petit faible pour la deuxième qui montre que son auteur est capable de raisonner finement avec les outils de l'élémentaire.

[vitalizo1]

Ouais mais bon je doute que tu puisses répondre à cette question à travers un exemple précis.

En plus, je lis

"Imaginez la bande qu'on enlève (rouge et bleue ci-dessous).

Elle a la même surface que la surface qui va rester."

C'est faux, la surface qu'on enlève (rouge et bleue) > surface qui reste (jaune)

[lafrancilienne]

En fait, la surface rouge et bleue que l'on retire est égale à la surface jaune restante parce que c'est dit dans l'énoncé...Et les explications liées au calcul de l'aire de cette bande visent seulement à éviter des erreurs de calcul...T'as pas l'impression de vouloir, un peu trop, couper les cheveux en quatre Vitalizo?

[vitalizo1]

Pour moi,

prenons un rectangle de 20 x 4

l'aire bleue + rouge = 20x1 + 20x1 + 4x1 = 44

L'aire jaune = 18x2 = 36