Problème sur un exercice d'arithmétique

[banouw]

J'ai un souci avec un exercice de maths que je n'arrive pas à résoudre. A tout hasard je vous donne l'énoncé, si quelqu'un pouvait m'aider ça serait top!

Vrai ou faux?

Soit A un entier naturel. Si 3 divise 11A, alors 3 divise A;

Je remercie d'avance tous ceux qui accepteront de se prendre la tête sur cet exercice!

[cristal21]

Comme 3 ne divise pas 11, et que 3 divise 11A, c'est que 3 divise A. La proposition est vraie.

[cath056]

Heu... je tente, même si ça fait des années que je ne me suis pas plongée dans les exercices d'arithmétique...

Si 3 divise 11A, cela signifie que 11 * A = 3 * B, B étant aussi un entier naturel.

Or 3 ne divise pas 11, donc forcément 3 divise A.

Et je dis VRAI.

Plus concrètement, on voit bien que 3 ne divise pas 11, ni 22, ni 44, ni 55, ni 77... Pour que ça fonctionne, il faut prendre A = 3, 6, 9... bref un multiple de 3.

Edit : j'ai répondu en même temps que Cristal

[banouw]

Ok! Merci, j'ai compris!

[vieuxmatheux]

La conclusion est correcte…mais l'argument est faux.

4 divise 6 x 10 et 4 ne divise pas 6… on ne peut pas en conclure que 4 divise 10.

Il faut introduire là dedans d'un façon ou d'une autre l'idée que 3 et 11 sont premiers, (ou au moins premiers entre eux).

Par exemple : Si 3 divise 11 A, il y a au moins un facteur 3 dans la décomposition en facteurs premiers de 11A.

Comme 11 est premier, la décomposition de 11A en facteurs premiers s'obtient en multipliant par le facteur 11 la décomposition de A, le facteur 3 est donc dans la décomposition de A. cqfd.

[cristal21]

La conclusion est correcte…mais l'argument est faux.

4 divise 6 x 10 et 4 ne divise pas 6… on ne peut pas en conclure que 4 divise 10.

Il faut introduire là dedans d'un façon ou d'une autre l'idée que 3 et 11 sont premiers, (ou au moins premiers entre eux).

Par exemple : Si 3 divise 11 A, il y a au moins un facteur 3 dans la décomposition en facteurs premiers de 11A.

Comme 11 est premier, la décomposition de 11A en facteurs premiers s'obtient en multipliant par le facteur 11 la décomposition de A, le facteur 3 est donc dans la décomposition de A. cqfd.

J'avais pensé à la notion de nombre premier entre eux, mais je ne savais comment le dire et surtout comment l'expliquer.

Merci pour la démo

[banouw]

La conclusion est correcte…mais l'argument est faux.

4 divise 6 x 10 et 4 ne divise pas 6… on ne peut pas en conclure que 4 divise 10.

Il faut introduire là dedans d'un façon ou d'une autre l'idée que 3 et 11 sont premiers, (ou au moins premiers entre eux).

Par exemple : Si 3 divise 11 A, il y a au moins un facteur 3 dans la décomposition en facteurs premiers de 11A.

Comme 11 est premier, la décomposition de 11A en facteurs premiers s'obtient en multipliant par le facteur 11 la décomposition de A, le facteur 3 est donc dans la décomposition de A. cqfd.

En effet cette explication me semble plus proche de ce que la prof de maths nous avait expliqué en cours.

Merci beaucoup.

[chiraz23]

j'en profite pour faire part de mon problème également sur un exo

On nomme n un nombre entier naturel strictement supérieur à 1. Le nombre noté 11n dans la base n désigne le nombre 1 x n^1 + 1 X n^0 = n +1 en base 10. les nombres en base 10 sont écrits selon la notation usuelle.

1. Ecrire en base 10, lorsque c'est possible, les nombres 24^n et 311^n pour n=3, n=4 et n=11

2. Déterminer la base n, si elle existe, telle que 131^n = 155.

3. Déterminer la base n. si elle existe , telle que (11n)² - 1= 15.

4. Dans quelle(s) bases(s) l'égalité (11^n)² - 111^n = 10^n est-elle vérifiée?

j'ai réussi à répondre aux deux premières questions, mais je reste complètement figée sur les questions 3 et 4

Merci d'avance

[vieuxmatheux]

déjà, il me semble qu'il y a de sérieux problèmes d'énoncé.

"Le nombre noté 11n dans la base n désigne le nombre 1 x n^1 + 1 X n^0"… et bien non, désolé, ce nombre se note 11, en base n

Le nombre qui se note 11 en base n, vaut n + 1 (pas particulièrement en base 10, il vaut n + 1 quelle que soit la base dans laquelle on l'écrit.

Que signifie pour toi l'écriture 24^n ? est-ce qu'il s'agit de 24 à la puissance n ou du nombre qui s'écrit avec un 2 et un 4 en base n ?

Le signe "^" est celui qu'on utilise sur certaines calculatrices ou tableurs pour indiquer l'élévation du nombre à une certaine puissance. Dans ce cas, 24^3 signifie 24 x 24 x 24.

La mention "si c'est possible" pousse plutôt à penser que tu veux parler du nombre qui s'écrit 24 en base n. En effet, dans la base n, on n'utilise que n chiffres (de 0 à n-1, par exemple en base 10 de 0 à 9 ou en base 2, de 0 à 1).

Dans ce cas, les chiffres 3 et 4 n'existant pas en base 3 ni en base 4, il n'y a qu'en base 11 qu'on peut écrire un nombre sous la forme 24 ou sous la forme 311 (Je souligne parce que je ne sais pas mettre un trait au dessus du nombre dans l'éditeur, ce qui est la façon la plus fréquente de signaler que le nombre ne doit pas se lire 24 ou 311 (dans notre base 10 habituelle) mais qu'il est écrit dans une autre base.

le nombre qui s'écrit 24 en base 11 vaut alors 2 x 11 + 4 soit 26

le nombre qui s'écrit 311 en base 11 vaut alors 3 x 11² + 1 x 11 + 1 soit 3 x 121 + 11 + 1 ou 375

155 s'écrit 131 en base n, alors n² + 3n + 1 = 155. Comme n est nécessairement supérieur à 10, il suffit d'essayer 11 et, miracle, ça marche.

Pour la question 3, là encore c'est un peu de la devinette, je suppose qu'à la place de 11n, il faut lire 11 comme en début d'énoncé.

dans ce cas, le nombre qui s'écrit 11 en base n a pour carré 16, ce nombre est donc 4 or ce nombre est égal à n + 1.

n est donc égal à 3.

Quant à la quatrième question, il y a tant d'incohérences sur l'énoncé que je renonce : deux conseils donc :

1) avant de poster une demande de renseignement ici, vérifie ton sujet plutôt deux fois qu'une.

Si tu ne sais pas comment mettre des caractères mathématiques ici (il y a des indications en début du forum) joins le sujet sous forme d'image ou de document pdf.

2) si tu as trouvé l'exercice dans un document exactement sous la forme que tu as placée sur le forum, jette tout de suite l'ouvrage où tu l'as trouvé, il ne peut te faire que du mal.

[chiraz23]

@vieuxmatheux! oula oula on peut dire que tu m'as bien reprise sur ce coup là! effectivement ça fait tellement un bail que je ne me suis pas plongée dans les maths que je n'ai pas su distinguer les incohérences (effectuées par moi même à mon grand regret )

Bref, effectivement après lecture bien attentive de ton post et relecture de cours, je me sens toute .

En tout cas, ça m'aura permis de comprendre bien des choses, donc un mal pour bien!

Concernant la 4ème question, je ne peux m'empêcher de corriger l'énoncé, ce qui donne:

4. Dans quelle(s) base(s) l'égalité (11 en base n)² - 111 en base n = 10 en base n est - elle vérifiée?

(c bien ça?!)

En revanche, peux-tu m'expliquer comment as-tu déduit que dans l'égalité 131 en base n = 155 n était nécessairement supérieur à 10? J'ai bien compris l'utilisation de l'identité remarquable mais pas le reste.

[vieuxmatheux]

Là on comprend de quoi il s'agit.

Comme l'écriture 11 en base n désigne le nombre n + 1 et 111 en base n désigne le nombre n²+ n + 1 , la question revient à chercher pour quelles valeurs de n on a (n+1)² - (n²+ n + 1) = 10

il reste à développer l'expression de gauche pour constater que cette égalité est équivalente à n = 10, il n'y a donc que dans notre bonne vieille base 10 que cette égalité est vraie.

Il n'y a pas besoin de tout ça pour vérifier qu'en base 10 c'est vrai (il suffit de calculer 11²-111) mais le calcul littéral est utile pour montrer que ce n'est vrai que dans la base 10.

Désolé d'avoir été un peu rude.

[chiraz23]

tes explications sont bien claires, je t'en remercie vivement. En revanche concernant la première question 131 en base n = 155, pourrais-tu me dire pourquoi la base doit nécessairement être supérieure à 10? Désolée mais je suis un peu larguée...

Aucun mal concernant ta rudesse.