Bonjour,

Jétais sur les exos Primaths de 2013. ex 7 : "Les trois médianes dun triangle partagent celui-ci en six triangles.

Démontrer que les aires de ces six triangles sont égales."

n'y parvenant pas, je vais voir la solution :

(P =centre de [AC] - M =centre de [bC] - N =centre de [AB] - G = centre de gravité)

"[AM] [bP] et [CN] étant des médianes de ABC, elles ont un point commun, centre de

gravité du triangle ABC, noté G. Le triangle ABC est donc bien partagé en six petits

triangles, comme le suggère la figure et comme laffirme lénoncé.

Les triangles ANG et BNG ont des aires égales, car leurs côtés [AN] et [NB] ont la

même longueur et les hauteurs issues du sommet G sont confondues. Notons a la

mesure de laire commune à ces deux triangles.

De même, les triangles BMG et CMG ont une aire commune (dont la mesure sera

notée b), CPG et APG ont une aire commune (dont la mesure sera notée c)."

=> jusque là ca va , mais après... cela se corse :

"Les triangles ANC et BNC ont également une aire commune (AN = NB et les

hauteurs issues de C sont confondues). Il en résulte que a+2c = a+2b, donc que

b = c."

=> est ce que quelqu'un peut m'expliquer pour quoi il en resulte que a+2c =a + 2b ? car je ne vois pas le lien de cause à effet là...

Merci.

Alors déjà es-tu d'accord que les aires de ANC et CNB sont égales ? Ou c'est là que ça bloque ?

L'aire de ANC c'est AN x "hauteur issue de A". L'aire de CNB c'est NB x "hauteur issue de A"

Les hauteurs, c'est deux fois la même. Et comme CN est médiane, on a AN=NB donc aire de ANC = aire de NCB.

De plus, aire (ANC) = aire (ANG) + aire (APG) + aire (PGC) = a + c + c = a + 2c

aire (BNC) = aire (NBG) + aire (GMB) + aire (GMC) = a + b + b = a + 2b

Comme aire ANC = aire BNC on arrive à a+2c = a+2b

On en déduit donc que c = b.

Puis en faisant la même démonstration avec les triangles PCB et PAB (on calcule les aires des deux, aire PBC=c+2b=3C puisque c=b ; aire PAB=c+2a. Et aire PCB=airePAB donc 3c=c+2a donc 2c=2a donc c=a).

ah ! c'est bon j'ai compris ! merci ! pas évident de s'y remettre...

Bon courage pour tes révisions !

C'est vrai, le corrigé est un peu elliptique, j'aurais dû préciser que l'égalité a+2b = a+2c venait du découpage en trois petits triangles de ANC et de BNC… merci schwa pour tes précisions.

en fait je n'avais pas saisi ce que représentaient les aires a, b et c. mais c'est bon maintenant !