Quelques lacunes en mathématiques

[Eric017]

Pour chacun des nombres suivants, précisez s'il est décimal ou non décimal et justifiez votre réponse:

17/8 ; 8/17 ; 2794/55 ; 1096/152

Je ne parviens pas à résoudre l'exercice: petit rappel: une fraction est décimale quand le dénominateur est une puissance de 10 et que le quotient d'une fraction est exact ?

Pour chaque fraction, aucun quotient n'est exact et aucun dénominateur est une puissance de 10

[miss puci]

17/8 est un nombre décimal, car 17/8= 2,125

[Eric017]

Et pour les autres fractions?

Quelqu'un pourrait m'expliquer ??

[vieuxmatheux]

Une fraction est décimale non pas quand son dénominateur est une puissance de 10, mais quand elle peut s'écrire avec un dénominateur puissance de 10.

La nuance est importante : 1/2 est décimal puisque 1/2 peut s'écrire 5/10

deuxième idée à retenir : comme 10 = 2 x 5, une puissance de 10 vaut 2x5 X 2x5 X 2x5 … autrement dit c'est un produit de facteurs 2 et de facteurs 5

Il en résulte que 2/3 n'est pas décimal : on aura beau multiplier le numérateur et le dénominateur par ce qu'on voudra, il restera un facteur 3 au dénominateur, la fraction ne peut donc pas s'écrire sous une forme dont le dénominateur est une puissance de 10.

C'est vrai aussi pour 8/17

Pour 17/8 on peut faire comme expliqué par miss puci ou remarquer que 8 = 2³ et décider de multiplier numérateur et dénominateur par 5³

On obtient alors 17/8 = 17x5³ / 1000 qui est décimal (et qui vaut 2,125 comme l'a fait remarquer miss puci).

Dans les autres cas, il faut commencer par simplifier la fraction.

Par exemple pour 2794/55, comme 55 = 5 x 11, il convient de se demander si la fraction peut être simplifiée par 11. Comme c'est le cas, on écrit que 2794/55 = 254/5 = 508/10, c'est donc décimal.

Pour 1096/152 on décompose 152 pour voir : 152 = 2 x 76 = 2 x 2 x 38 = 2 x 2 x 2 x 19.

Reste donc à voir si 1096 est multiple de 19. Si oui on simplifie par 19 et on conclut que la fraction est décimale comme pour 17/8

Si non on conclut qu'elle n'est pas décimale comme pour 2/3

Résumé :

1 On simplifie les fractions avant de conclure et on décompose éventuellement le dénominateur en facteurs premiers (évidemment c'est inutile si il vaut 1000 !)

2 si au dénominateur simplifié il n'y a que des 2 et des 5 qui se multiplient joyeusement, la fraction est décimale (si le dénominateur n'est pas une puissance de 10, il suffit de multiplier numérateur et dénominateur par quelques 2 ou quelques 5 bien choisis pour obtenir une puissance de 10)

3 si au dénominateur simplifié et décomposé il traine un facteur autre que 2 ou 5 (3, 7, 11… ) la fraction n'est pas un nombre décimal.

JE SUIS CHARLIE, MON ARME EST LE STYLO

[Nina83]

Pour montrer qu'une fraction représente un nombre décimal, on peut :

1) diviser : si on obtient une écriture à virgule finie, c'est un nombre décimal donc 17/8 = 2,125 et 2794/55 = 50,8 sont des décimaux.

2) on utilise la propriété "les rationnels qui sont des décimaux sont ceux qui peuvent s'écrire à l'aide d'une fraction irréductible dont le dénominateur est le produit d'une puissance de 2 par une puissance de 5" :

on a 17/8 = 17/2³ donc il est décimal, 8/17 = 2³/17 donc non, 2794/55 = 2*11*127/5*11 = 2*127/5 donc il est décimal et 1096/152 = 2³*137/2³/19 = 137/19 donc non.