Produits en croix

[heliam21]

Bonjour,

Je sais que certains d'entre nous apprennent la formule des produits en croix en primaire.
Mais attention, celle-ci ne doit être normalement introduite qu'en classe de 4ème car on l'explique de manière littérale avec une égalité de deux quotients.
Bien d'autres méthodes restent disponibles pour traiter la proportionnalité : coeff de proportionnalité, retour à l'unité, linéarité.

[astro52]

Il y a 16 heures, heliam21 a dit :

Bonjour,

Je sais que certains d'entre nous apprennent la formule des produits en croix en primaire.
Mais attention, celle-ci ne doit être normalement introduite qu'en classe de 4ème car on l'explique de manière littérale avec une égalité de deux quotients.
Bien d'autres méthodes restent disponibles pour traiter la proportionnalité : coeff de proportionnalité, retour à l'unité, linéarité.

Bonjour,

Je ne parle jamais de produit en croix, que ça soit avec les primaires ou les 4ème.

En primaire je passe par la notion de coefficient de proportionnalité (façon règle de 3), et au collège on manipule l'écriture de l'équation selon les règles générales des équations sans distinguer un tel cas comme particulier, puisque ce sont exactement les mêmes règles.

 

 

[vieuxmatheux]

Ta réponse est étonnante astro 52 puisque la règle de 3 ne s'appuie absolument pas sur le coefficient de proportionnalité.

 

Dans la recette d'un gâteau, on met 150 g de chocolat et 60 ml de lait (et d'autres ingrédients que je tiens secrets).

Si on veut faire le même gâteau en utilisant 200 g de chocolat, combien doit-on mettre de lait.

La règle de trois (qui n'est certainement pas la méthode la plus subtile ici) consiste à se dire :

Pour 150 g de chocolat il faut 60 ml de lait, donc pour 1 g de chocolat il faut 150 fois moins de lait, soit  60 ml : 150 c'est à dire 

0,4 ml.

Pour 200 g de chocolat, il faut 200 fois plus de lait que pour 1 g de chocolat, c'est à dire 0,4 ml x 200 soit 80 ml.

 

Bien entendu, le nombre 0,4 qu'on trouve à l'étape intermédiaire est aussi un des coefficients de proportionnalité qu'on peut utiliser (l'autre étant 150/60 soit 2,5), mais il n'a pas du tout la même signification.

Dire qu'il faut 0,4 ml de lait pour 1 g de chocolat parle de quantités particulières et dans des unités familières. C'est difficile parce que tout ce qui sort des entiers est difficile en primaire, mais accessible.

 Le rapport  de proportionnalité 0,4 dont l'unité (le ml/g) est loin d'être évidente et qui est une constante valable quelle que soit les quantités de lait et de chocolat utilisées est à mon avis incompréhensible à l'école élémentaire.

 

Ceci dit, je préfère résoudre ce problème en disant que pour 600 g de chocolat il faut 4 fois plus de lait que pour 150 g, soit 240 ml et que pour 200 g de chocolat il faut 3 fois moins de lait que pour 600 g soit 200 ml.

Evidemment, cette méthode n'est pas utilisable pour toutes les valeurs numériques, c'est pour ça qu'à mon avis la règle de trois doit être enseignée à l'école primaire en tant que "roue de secours" : il est souvent possible de s'en passer et de faire des calculs plus simples, mais quand ce n'est pas possible il reste toujours la possibilité d'utiliser la règle de trois.

 

 

 

 

[astro52]

Dans ton exemple on peut considérer que 0,4 g/mL est un coefficient de proportionnalité. Présenté sous la forme de la quantité de l'un pour 1 (+unité) de l'autre, c'est compréhensible en primaire ; ça n'est pas formalisé exactement comme un coefficient, mais c'est égal à ce coefficient numériquement et très proche sémantiquement.

La difficulté n'est pas tellement dans le fait que ça soit entier ou pas, mais plutôt dans le fait que les élèves vont plus facilement diviser le plus grand nombre par le plus petit que l'inverse. C'est à dire par exemple que 7 euros pour 3 trucs est plus générateur d'erreur que 3 euros pour 7 trucs.

[vieuxmatheux]

D'accord sur la difficulté de diviser un nombre plus petit par un plus grand que j'ai omise, mais je maintiens que le fait que le résultat ne soit pas entier est aussi une difficulté.

Par ailleurs je ne suis pas du tout d'accord sur le fait que le nombre intermédiaire trouvé dans la règle de trois soit du point de vue du sens proche du coefficient :  quand on se pose la question "combien de lait pour un gramme de chocolat ?" on trouve une réponse dont l'unité est le millilitre et pas une unité quotient (ni le g/ml comme tu l'écris par lapsus, mais pas non plus le ml/g).

Pour que le nombre prenne le sens d'un coefficient, il faut expliciter que dans la situation étudiée le rapport de deux mesures correspondantes est constant ( et s'exprime avec une unité quotient)… ce qui n'est pas du tout dans l'esprit de l'école primaire, sauf dans quelques situations très particulières comme par exemple l'agrandissement de figures : si on agrandit une figure en multipliant toutes les dimensions par 3, ce nombre a bien la signification d'un rapport.

Comme dans ce cas les deux grandeurs sont exprimées dans la même unité, le rapport est un nombre sans unité : un segment est long comme 3 fois l'autre, il n'y a pas de difficulté particulière de compréhension.

En revanche, même si les nombres étaient entiers, dire qu'on multiplie par 3 des grammes pour obtenir des ml pose un problème sérieux : 3 fois 50 g c'est 150 g et non 150 ml, ça ne peut pas avoir de sens si on pense le 3 comme un nombre sans unité… et je maintiens que le penser 3 ml/g ne relève pas de l'école élémentaire.