Fractions

[Amoniak]

Bonjour,

je commence à réviser le programme de Maths et je ne comprend pas comment on trouve les chiffres à multiplier entre eux.

 

Ex: 45/10500 . On décompose 10500 = 2² x 5(3) x 3(1) x 7(1)

comment trouve-t-on cela? 

merci,

Virginie

[flops]

Il faut chercher la decomposition en nb premiers 

10500 = 105 x 100 = 105 x 25 x 4 = 105 x 5 x 5 x 2 x 2 

Reste à decomposer 105 

105 = 5 x 21 = 5 x 3 x 7 

Donc 10500 = 5 x 3 x 7 x 5 x 5 x 2 x 2 

 

Ou tu peux voir que 10500 est divisible par 5. Tu divises une premier fois, puis une seconde, puis une troisieme. Le resultat est divisible par 2, deux fois de suite. Le résultat obtenu est 21 soit 3 x 7.

A toi de choisir ce qui est le plus simple ...

 

[Amoniak]

super merci beaucoup tout s'illumine d'un coup  

 

je préfère la décomposition en nombre premiers pour le coup 

[vieuxmatheux]

La décomposition en produit de nombres premiers, c'est le résultat :      10500 = 5 x 3 x 7 x 5 x 5 x 2 x 2  (ou la même écrite en utilisant la notation sous forme de puissance). L'usage est qu'on utilise les puissances ou non de regrouper les facteurs identiques et d'écrire d'abord les plus petits : 10500 = 2 x 2 x 3 x 5 x 5 x 5 x 7. D'un point de vue mathématique ça ne change rien mais ça facilite grandement la tâche du correcteur pour vérifier que tous les facteurs y sont si c'est écrit dans l'ordre usuel et un jour de concours, il vaut mieux faciliter la tâche du correcteur. 

Pour ce qui est de la méthode, l'intérêt de ce que propose flops est de montrer qu'il y a deux approches possibles :

quand il y a une décomposition évidente parce que le nombre est multiple de 1000 ou de 100 comme dans ton exemple, c'est une bonne idée de commencer par faire cette décomposition : 10500 = 105 x 100 (ou 10500 = 105 x 10 x 10 si on préfère) et ensuite continuer à décomposer chacun des nombres obtenus dans cette première étape.

mais il arrive aussi qu'il n'y ait rien d'évident à première vue par exemple pour 22176, alors il faut être méthodique : le nombre est pair on peut donc isoler le facteur 2  ;  22176 = 2 x 11088.  11088 est également pair, on peut donc continuer 22176 = 2 x 2 x 5544.

Quand il n'y a plus de facteur 2 à isoler, on passe à 3, puis à 5, 7,11…  C'est très fastidieux et il est normal que tu préfères la première version de flops, beaucoup plus subtile sur l'exemple proposé mais qui, malheureusement, n'est pas toujours possible.

Heureusement, on peut prouver que quelle que soit la façon de procéder, la décomposition obtenue à la fin est toujours la même : un nombre entier n'a qu'une seule décomposition en facteurs premiers.