Ecriture décimale d'un rationnel

[ROOTSIE]

On considère le rationneldont l'écriture à virgule est 2.370, la période étant 370.L'écriture fractionnaire est la suivante 64/27.

La division euclidienne de 64 par 27 permet d'écrire l'égalité 64/27=2+10/27

a) Effectuer la division euclidienne de 100/27. En déduire l'égalité 64/27=2+3/10+1/10(19/27) et en déduire le chiffre des dixièmes de l'écriture à virgule de 64/27

b)R2itérer la procédure pour trouver le chiffre des centièmes et le chiffre des millièmes de 64/27

c) retrouver en utilisant ces calculs

pourquoi l'écriture décimale de 64/27 est périodique et infinie

merci de m'aider à résoudre ce problème je n'ai pas la solution :P

[Dominique]

Bonjour,

Remarque préalable : Sauf erreur de ma part, cet exercice est un extrait d'un exercice donné au concours à Aix-Marseille en 1997. La présentation de cet exercice en fait, de mon point de vue, un exercice très compliqué car, si on se contente d'essayer de répondre aux questions, on risque de ne rien comprendre à ce qu'on fait alors qu'il s'agit "tout simplement" d'expliquer le mécanisme de la division décimale de 64 par 27. Il est donc conseillé d'effectuer cette division et de comprendre qu'en fait on enchaîne une suite de divisions euclidiennes : on commence par diviser 64 par 27 (on trouve un reste de 10) puis "on abaisse un 0" et on divise 100 par 27 puis "on abaisse un 0" et on divise 190 par 27 puis "on abaisse un 0" et on divise 10 par 27 puis "on abaisse un 0" et on divise 100 par 27 etc.

a )

100 = 3 × 27 + 19.

On en déduit que 100/27 = 3 + 19/27 et donc 10/27 = 3/10 + 1/10(19/27).

Dans l'égalité 64/27 = 2 + 10/27 donnée dans l'énoncé, on remplace 10/27 par ce qu'on vient de trouver. On arrive à :

64/27 = 2 + 3/10 +1/10(19/27).

0 < 19/27 < 1 donc 0 < 1/10(19/27) < 0,1 donc 2,3 < 64/27 < 2,4 donc le chiffre des dizièmes de l'écriture à virgule de 64/27 est 3

b ) 1/10(19/27) = 1/100(190/27)

Effectuons la division euclidienne de 190 par 27 :

190 = 7 × 27 + 1

Donc 190/27 = 7 + 1/27 donc donc 64/27 = 2 + 3/10 + 7/100 +1/100(1/27)

0 < 1/27 < 1 donc 0 < 1/100(1/27) < 0,01 donc 2,37 < 64/27 < 2,38 donc le chiffre des centièmes est 7.

Et on recommence ...

1/100(1/27) = 1/1000(10/27)

Effectuons la divisison euclidienne de 10 par 27 :

10 = 0 × 27 + 10

Donc 10/27 = 0 + 10/27 donc 1/1000(10/27) = 0/1000 + 1/1000(10/27)

Donc 64/27 = 2 + 3/10 + 7/100 +0/1000 +1/1000(10/27)

0 < 10/27 < 1 donc 0 < 1/1000/(10/27) < 0,0001 donc 2,370 < 64/27 < 2,371 donc le chiffre des millièmes est 0.

c ) Si on continue :

1/1000(10/27) = 1/10000(100/27)

On est amené à effectuer la division euclidienne de 100 par 27 effectuée au a).

Le chiffre suivant est donc un 3.

On serait amené ensuite à effectuer la division euclidienne de 190 par 27 puis de 10 par 27 puis ... etc. ... en retrouvant toujours dans l'ordre les mêmes divisions euclidiennes.

Donc 67/27 = 2,370370370370... (avec une infinité de 370).

[Araneda]

Merci :P