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Aide pour des exercices


keppit
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Salut ! 
Je crée un nouveau topic pour éviter d'en faire 100 😁 Evidemment il est ouvert à d'autres personnes en questionnement. 

Je bûche sur les maths avec Hatier, et il y a des résolutions que je ne comprends pas. J'en demande donc humblement aux seigneurs des maths de m'éclairer sur ces problèmes.
Je vais les faire un par un pour éviter confusion à chaque fois.

 

Merci à ceux et celles qui apporteront leur aide.

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Voici donc un premier problème d'équation, je ne pense pas que le sujet soit d'intérêt pour ma question.

 

Il est dit : 

d + d' =40

d/18 + d'/48 = 5/3

Résultat : d = 24 et d'=16

Je ne comprends pas ce calcul.

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Il serait intéressant de dire ce que tu as entrepris pour essayer de résoudre ce problème ou de préciser ce qui t'embarrasse. 

La méthode indiquée par borneo est possible… mais ce n'est pas la seule.

On peut aussi dans le même esprit utiliser d' = 40 - d… peut-être est-ce plus simple.

Il se peut aussi que se soit la présence de fractions qui te gène, dans ce cas il est peut-être judicieux de commencer par essayer de s'en débarrasser :

On peut commencer multiplier par 3 les deux côtés de la deuxième équation ce qui donne

3d/18 + 3d'/48 = 5

et en simplifiant un peu

d/6 + d'/16 = 5

Si ce n'est pas assez simple, on peut recommencer pour essayer de se débarrasser du dénominateur 6, ou du 16… ou encore mieux des deux.

Autre approche ayant pour but de simplifier la deuxième équation : essayer de mettre les trois fractions au même dénominateur.

Supposons en effet qu'on parvienne à quelque chose comme (l'équation qui suit est volontairement fausse, c'est juste un exemple pour expliquer la méthode) 54d/126 + 22d'/126 = 630/126, en multipliant les deux côtés par 126 on obtiendrait une équation sans fractions.

 

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J'ai commencé par la méthode de substitution de Borneo, à laquelle je n'avais pas pensé alors que je le fais systématiquement pour des équations sans fraction. J'ai tenté le même dénominateur commun et malgré tout je n'ai pas réussi.


Je me suis donc penchée un peu plus sur comment enlever la fraction, et je me suis rendue compte que je m'étais trompée dans la première méthode. J'ai réussi :D Merci.
J'ai un second exercice dans  le même style, je vais le faire tout de suite.


A bientôt pour un nouveau problème 😄

 

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Il y a 3 heures, vieuxmatheux a dit :

 

On peut aussi dans le même esprit utiliser d' = 40 - d… peut-être est-ce plus simple

 

Tu as raison. Je viens de résoudre le système, c'est effectivement un peu plus simple. J'ai répondu sur la méthode, je n'ai pas cherché les solutions, car je pense que l'élève doit chercher un peu par lui-même.  :)

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Il y a 18 heures, borneo a dit :

Tu as raison. Je viens de résoudre le système, c'est effectivement un peu plus simple. J'ai répondu sur la méthode, je n'ai pas cherché les solutions, car je pense que l'élève doit chercher un peu par lui-même.  :)

moi non plus je ne l'ai pas résolu, mais pour laisser les étudiants chercher par eux mêmes comme tu le rappelles de temps à autre de façon parfois un peu raide il faut mieux à mon avis suggérer plusieurs pistes à explorer.

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Et je ne veux pas de réponse toute faite ;) Même si parfois je suis complètement déroutée !

J'ai avancé de 3 chapitres sans trop de problèmes aujourd'hui. Dès qu'on va passer aux racines je vais venir lancer ma bouée de sauvetage 😄

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  • 1 month later...

Hello ! Me revoilà avec un nouveau problème qui sort de l'épreuve de 2015, groupement 2.

Le sujet 145307317_Screenshot2020-03-20at18_04_51.png.4e1085de7150eb75595762175e0847f4.png

 

J'ai pris les données, le salaire médian des femmes étant de 1875e et l''entendue de 1000e, j'ai supposé que 

Salaire Femme 1 = 1375e

Salaire Femme 2 = 1875e

Salaire Femme 3 = 2375e

Je ne comprends pas pourquoi le salaire moyen est à 1700e. Comme elles ne sont que 3, ne devrait-il pas être  = au médian ?

 

Si je continue l'exercice, j'ai un salaire moyen des hommes à 1862,5e. 

Après une petite équation, je calcule qu'il faut un salaire de 1825e à la 4e femme pour avoir le même salaire moyen que les hommes. 

 

Or, après lecture de corrigé, ça se passe autrement : les 4 salaires des hommes = 7450e. Il manque donc un salaire de 2350e à la 4e femme pour faire la même moyenne. Ce qui est logique en ce sens : 2X4 personnes ayant la même totalité de salaires donne la même moyenne.

Alors pourquoi mon calcul est-il aussi bon ? Je comprends qu'il y a l'histoire de moyenne qui fausse mon résultat, mais pas l'étendue ni le médian....

 

Merci

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C'est ta supposition de départ qui est fausse : en choisissant tes trois salaires pour les femmes, tu respectes le critère de valeur médiane et d'étendue, mais pas celui de moyenne, la moyenne de tes trois salaires est de 1875 € alors que l'énoncé dit 1700.

C'est probablement une mauvaise compréhension de l'idée de salaire médian : il y a autant de personnes qui gagnent plus que le salaire médian que de personnes qui gagnent moins, les critères de salaire médian et d'étendue serait respectés de la même façon si tu avais choisi 100  1875 et 1880 ou 1000 1875 et 1 000 000… alors que la moyenne change évidemment.

Ici (à moins qu'il y ait d'autres questions ensuite) les indications sur le salaire médian et l'étendue ne servent à rien puisque la moyenne ne dépend que de deux choses : la valeur totale et le nombre de personnes. Comme on connait le nombre de personnes (4) la méthode du corrigé que tu cites est probablement la plus simple.

Remarque au passage : je ne sais pas qui a écrit ce sujet mais convoquer la notion de médiane pour des effectifs de 3 ou 4 personnes n'a aucun intérêt, c'est une notion utile pour décrire des situations où interviennent un grand nombre de valeurs, pour donner une information complémentaire de celle que donne la moyenne.

Exemple : dans un pays imaginaire, il y a 1000 agriculteurs. 

Leur revenu moyen est de 10 000 € annuel, cela dit seulement que le revenu total est de 10 000 000€.

On a facilement tendance à imaginer un "agriculteur moyen" qui gagne 10 000 €… mais il se peut qu'il soit rare voire qu'il n'existe pas.

Cela peut correspondre à la situation où chacun d'entre eux a un revenu de 10 000 €, mais aussi à celle où 990 d'entre eux gagnent 1000 € et les 10 autres 901 000 €

La médiane, qui est de 10000 dans le premier cas et seulement de 1000 dans le deuxième corrige un peu la vue d'ensemble (même si la seule façon d'avoir une vue complète de la situation est de disposer du revenu de chacun).

Petit paradoxe : supposons que l'année suivante le revenu moyen des agriculteurs de ce pays ait doublé… on a envie de se réjouir pour les agriculteurs mais il y a de nombreuses façons d'y parvenir parmi lesquelles les suivantes :

  • Les 10 agriculteurs les plus à l'aise ont vu leur revenu passer à 1 901 000 sans que rien ne change pour les autres.
  • 500 des agriculteurs ne gagnant que 1000 € annuels ont abandonné l'agriculture, les 490 autres gagnent toujours 1000 € et les 10 nababs gagnent 1 951 000.
  • Le revenu de chaque agriculteur a doublé.

Ajouter la médiane à la moyenne donne une information moins trompeuse mais encore bien incomplète (elle reste à 1000 dans les deux premiers cas, passe à 2000 dans le troisième.

 

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  • 2 months later...

La somme de deux nombres naturels pairs est-elle paire ou impaire ? (cf Hatier, chap.6 sur les multiples et diviseurs)

La première fois que j'ai fait cet exercice, j'ai choisi 2n et 2n+2 comme nombres pairs. Ici tout va bien, la somme 4n+2 est paire.

Puis j'ai choisi comme naturels pairs n et 2n (n est alors nécessairement pair puisque 2n est pair). Mais la somme, 3n, ne l'est pas nécessairement;

La correction indique que la somme de deux naturels pairs est paire, ne propose pas de démonstration, mais renvoie à la propriété suivante :

Si c divise les nombres naturel a et b, alors c divise a+b.

Oui, très bien, mais comment comprendre 3n alors ?

 

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il y a 37 minutes, Marie. a dit :

Puis j'ai choisi comme naturels pairs n et 2n (n est alors nécessairement pair puisque 2n est pair). Mais la somme, 3n, ne l'est pas nécessairement;

Et pourquoi n serait pair ? Si n = 3, n n'est pas pair. Un nombre pair, c'est forcément 2 fois quelque chose.

 

il y a 39 minutes, Marie. a dit :

La première fois que j'ai fait cet exercice, j'ai choisi 2n et 2n+2 comme nombres pairs. Ici tout va bien, la somme 4n+2 est paire.

OK pour 2n, mais 2n+2 n'est pas n'importe quel nombre pair. Tu ne peux pas prendre 2n + 2 comme exemple. Il faut en choisir un autre, qui ne dépend pas de n, et qui peut représenter n'importe quel nombre pair.

 

Je te conseille de réfléchir avec de vrais nombres, dans le concret, avant d'utiliser des lettres. :)

  • Merci 1
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il y a 55 minutes, Marie. a dit :

Ici tout va bien, la somme 4n+2 est paire.

Certes, mais comment justifies-tu que 4n + 2 est pair ? Il ne suffit pas de le dire. :)

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Je ne comprends pas, 2n et 2n+2 sont nécessairement pairs puisque divisibles par 2.

La démonstration ne doit pas être littérale pour être généralisable ?

J'ai pensé qu'en choisissant n et 2n (avec n nécessairement pair du coup, mais c'est seulement moi qui le présente comme pair...), j'obtenais un résultat juste mais maladroit, parce que si ici, la somme 3n est paire, je ne la présente pas sous la forme d'un multiple de 2.

2n et 2n+2, en revanche, permettent de présenter la somme sous la forme d'un multiple de 2 : 4n + 2, ou 2(2n+1)

n peut être n'importe quel nombre entier naturel, 2n est forcément pair.

Que choisir alors ? 2n et 2a ?

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Il y a 4 heures, Marie. a dit :

Soit n et a deux entiers naturels

2n et 2a sont donc deux naturels pairs

2n + 2a = 2(n+a)

?

Soient n = 2a et m=2b tels que a et b sont deux entiers naturels quelconques

n et m sont donc deux entiers naturels pairs

Calculons p= n+m

p = 2a + 2b

p = 2 (a+b )
 

p est donc divisible par 2 

donc p est donc un entier naturel pair

La somme de deux entiers naturels pairs est donc un entier naturel pair

 

 

 

 

 

  • Merci 1
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il y a une heure, barbotinne a dit :

p = 2 (a+b ) commutativité de l'addition et de la multiplication

cette ligne te plomberait un peu au concours.

Les candidats ne sont pas supposés être des spécialistes des maths, on peut admettre qu'ils ne maîtrisent pas les termes techniques comme "associativité", "distributivité"… mais s'ils les emploient c'est à leurs risques et périls : la commutativité de l'addition est la propriété par laquelle a+b = b+a, ce n'est pas ça qui est en jeu ici, ça te serait reproché.

De façon générale, plus un candidat réussit à expliquer les choses dans un français simple, mieux c'est puisque c'est exactement ce que vous aurez à faire avec vos élèves si vous êtes reçus.

 

Il y a 4 heures, Marie. a dit :

n est alors nécessairement pair puisque 2n est pair

C'est le genre de phrase qui sonne bien, qu'on a tendance à écrire un peu vite sans vraiment réfléchir à ce que ça signifie… exactement ce qu'il faut éviter à tout prix.

Parce que finalement, si cette phrase est vraie, tous les nombres entiers sont pairs… c'est un peu gênant.

Avec une phrase de ce genre, non seulement tu n'as aucun point à la question, mais surtout tu perds la confiance du correcteur. Un candidat qui est rigoureux (ce qui au CRPE signifie seulement qu'il fait preuve de prudence et d'exigence dans ce qu'il affirme, il n'y a aucune exigence formelle) bénéficiera pour les inévitables questions où il aura rédigé de façon un peu floue ou ambigüe d'un préjugé favorable du correcteur.

Un candidat qui aura écrit une (ce qui peut éventuellement passer, tout le monde peut faire une étourderie) ou plusieurs phrases comme celle ci ne bénéficiera d'aucune indulgence en cas de doute sur une autre question.

  • Merci 1
  • J'adhère 1
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Il y a 2 heures, Marie. a dit :

Je ne comprends pas, 2n et 2n+2 sont nécessairement pairs puisque divisibles par 2.

Si tu prends 2n, le nombre 2n+2 n'est pas n'importe quel nombre pair, c'est le nombre pair qui suit 2n.

Si 2n = 4,    2n+2 = 6.

On ne cherche pas à montrer que la somme de deux nombres pairs consécutifs est un nombre pair (cas particulier), mais que la somme de deux nombres pairs choisis au hasard est un nombre pair.

  • Merci 1
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Le 14/02/2020 à 16:09, vieuxmatheux a dit :

moi non plus je ne l'ai pas résolu, mais pour laisser les étudiants chercher par eux mêmes comme tu le rappelles de temps à autre de façon parfois un peu raide il faut mieux à mon avis suggérer plusieurs pistes à explorer.

Je m'étonne à chaque fois que des enseignants pensent aider en balançant la réponse (et là, je ne te vise absolument pas 😊). Est-ce qu'on le ferait avec nos élèves ?

J'imagine que la bonne manière de bosser les maths du concours est toujours de comprendre .... et pas d'apprendre des types d'exercices à réutiliser au concours. Je pense aussi que c'est en cherchant qu'on apprend. 

😇

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Il y a 2 heures, vieuxmatheux a dit :

cette ligne te plomberait un peu au concours.

Les candidats ne sont pas supposés être des spécialistes des maths, on peut admettre qu'ils ne maîtrisent pas les termes techniques comme "associativité", "distributivité"… mais s'ils les emploient c'est à leurs risques et périls : la commutativité de l'addition est la propriété par laquelle a+b = b+a, ce n'est pas ça qui est en jeu ici, ça te serait reproché

Merci de me l'avoir signalé je suis en effet allée un peu vite et ait mélangé les vocabulaires

Je vais editer pour n'induire personne en erreur

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Une autre petite remarque à propos de cet exercice : toutes les propositions faites utilisent l'écriture algébrique qui est, il faut bien le dire, fort pratique pour ceux qu'elle n'effraie pas.

Cependant, elle n'est absolument pas obligatoire au crpe (sauf si l'énoncé le précise évidemment).

Une solution comme celle ci serait tout à fait acceptable :

Dans le système décimal usuel, un nombre pair se reconnait à ce que son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

On considère deux nombres pairs A et B, le tableau  ci-dessous indique le chiffre des unités de A+B en fonction des chiffres des unités de A et de B.

Il permet de constater que A+B est toujours pair.

tableau.thumb.png.82de87f7872a0b27f5b8aeb52378ebf4.png

 

Celle-ci passerait également très bien :

Soit deux nombres entiers pairs A et B.

B est pair, il existe donc un entier b tel que B = 2xb = 2 + 2 + 2 …+ 2 (b fois 2)

Ajouter B, c'est donc ajouter un certain nombre de fois 2. 

Comme il y a alternance des nombres pairs et impairs, en ajoutant 2 à un nombre pair, on obtient un nombre pair.

 A+2 est donc pair, ainsi que A+2+2, A+2+2+2 et, de proche en proche, A+B

 

Ou celle-ci, proche dans l'esprit de la précédente :

Si n est un nombre entier, le produit 2n est égal à n + n mais également à 2 + 2 + 2 ………… + 2 (n fois deux)

Un nombre pair est donc la somme d'un certain nombre de fois 2.

En ajoutant deux nombres pairs, on obtient donc encore un certain nombre de fois 2… soit un nombre pair.

 

Je suis moins formel sur la suivante qui pourtant me plait beaucoup :

La dénomination "nombre pair" a probablement été choisie parce qu'avec un nombre pair d'objet il est possible de constituer des paires, sans qu'il reste un objet ( dans une écriture plus standard Si A est pair, il existe un entier a tel que A = 2a, avec A objets on peut donc faire a paires).

Si A et B sont pairs, on peut faire des paires avec A objets et on le peut également avec B objets. En mettant ensemble les paires faites avec A objets et celles faites avec B objets, on montre qu'on peut faire des paires avec A+B objets. A+B est donc pair.

  • Merci 1
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Il y a 15 heures, borneo a dit :

Et pourquoi n serait pair ?

 

Il y a 11 heures, vieuxmatheux a dit :

Parce que finalement, si cette phrase est vraie, tous les nombres entiers sont pairs… c'est un peu gênant.

Je ne comprends pas comment j'en suis arrivée à considérer que n était nécessairement pair. Je ne retrouve pas le point de départ de cet étrange raisonnement.

 

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Il y a 11 heures, borneo a dit :

Si tu prends 2n, le nombre 2n+2 n'est pas n'importe quel nombre pair, c'est le nombre pair qui suit 2n.

Même chose, je ne sais pour quelle obscure raison il fallait absolument que je parte sur deux nombres pairs consécutifs ...😵

Ce n'est sans doute pas une bonne idée de démarrer au saut du lit par des exercices de maths exécutés en urgence, la tête dans le brouillard et encore en surchauffe de la veille. Les conséquences sont un peu démoralisantes !

Merci beaucoup de vos réponses !

Il y a 12 heures, barbotinne a dit :

Soient n = 2a et m=2b tels que a et b sont deux entiers naturels quelconques

n et m sont donc deux entiers naturels pairs

Merci beaucoup pour ce modèle !

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Il y a 19 heures, barbotinne a dit :

Soient n = 2a et m=2b tels que a et b sont deux entiers naturels quelconques

n et m sont donc deux entiers naturels pairs

En fait, c'est curieux comme rédaction puisqu'on nous dit que a et b sont quelconques alors que ce qui importe est que n et m soient quelconques… certes ça revient au même, mais est-ce si évident ?

Une rédaction standard de matheux serait plutôt :

Soit M et N deux entiers pairs quelconques. M et N étant pairs, il existe des entiers m et n tels que M = 2m  et  N = 2n.

  • Merci 1
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