Calcul réfléchi : diviser par 0.5 revient à le multiplier par 2. Comment expliquer ?

[Ola-ilou]

Bonjour,

Petite colle : Comment expliquer que diviser un nombre décimal par 0.5 revient à le multiplier par 2 ???

Très justement, mes élèves ont dit : "si je divise, je rends forcément ce nombre plus petit !"....

Alors ??? on dit quoi ??????

[vieuxmatheux]

C'est probablement le moment de rappeler que la division a deux significations très différentes :

diviser par 3 c'est partager en trois parts égales, mais c'est aussi chercher combien de fois 3 on peut obtenir.

La première signification est souvent plus évidente pour les élèves et explique leur réaction, parce que ça n'a pas de sens de "partager" en 0,5 parts ou en 0,2 parts.

Dans ce cas, la seule signification qui reste pertinente est "combien de fois".

Si j'ai 10 €, j'ai combien de fois 0,5 € ?

Comme chaque euro est égal à deux pièces de 0,5€, 10€ c'est 10 x 2 pièces de 0,5€

Il me semble que c'est en effectuant un certain nombre d'exemples concrets avec de la mesure (en m, kg, €) qu'on peut franchir cette difficulté et accepter qu'il y a des divisions qui ne font pas diminuer le nombre de départ.

Il n'y a probablement pas que tes élèves qui ont cette difficulté, ça me fait penser que je devrais ajouter un petit paragraphe sur mon site dans l'article sur les techniques de division pour signaler que si on enseigne une technique qui s'appuie exclusivement sur le sens "partager en n parts" il faut se préparer à affronter ensuite cet obstacle.

[Bountygong]

Tu as toujours des explications limpides. Merci @vieuxmatheux

Si seulement tu avais été mon professeur au collège !

[*Random*]

Diviser par 2, c'est multiplier par 1/2 car la multiplication est l'inverse de la division.

Donc diviser par 1/2, à l'inverse, c'est multiplier par 2. Mais bon, ça reste contre intuitif par rapport au sens de la division et ce n'est pas niveau primaire.

Ou sinon :

- quand on divise par un nombre plus grand que 1, le résultat est plus petit.

- quand on divise par 1, le résultat ne change pas.

- quand on divise par un nombre plus petit que 1, le résultat sera donc plus grand.

Bon, ça reste compliqué à visualiser. Je crois que l'explication de Vieux Matheux est encore la meilleure.

[borneo]

Je pense qu'on le comprend quand on a intégré ce que sont les décimaux inférieurs à 1. Pour les élèves de primaire, c'est très abstrait. 

[maryl]

J'ai simplement écrit au tableau deux exemples :

44 × 0,5 = 22

26 x 0,5 = 13

Et je leur ai demandé ce qu'ils remarquaient. "C'est la moitié !" est arrivé très vite. On a donc conclu que x par 0,5 c'est divisé par 2 (oui je sais c'est très léger comme démonstration mathématiques 😁). Les matheux  ont compris pourquoi (0,5 = 1/2), et les réfractaires avaient un grand sourire parce que " trop facile" et surtout ils savent tous multiplier par 0,5 de tête et c'était l'objectif. 

Parfois pour les élèves le calcul mental a un côté magique.

[Ola-ilou]

Il y a 5 heures, vieuxmatheux a dit :

C'est probablement le moment de rappeler que la division a deux significations très différentes :

diviser par 3 c'est partager en trois parts égales, mais c'est aussi chercher combien de fois 3 on peut obtenir.

La première signification est souvent plus évidente pour les élèves et explique leur réaction, parce que ça n'a pas de sens de "partager" en 0,5 parts ou en 0,2 parts.

Dans ce cas, la seule signification qui reste pertinente est "combien de fois".

Si j'ai 10 €, j'ai combien de fois 0,5 € ?

Comme chaque euro est égal à deux pièces de 0,5€, 10€ c'est 10 x 2 pièces de 0,5€

Il me semble que c'est en effectuant un certain nombre d'exemples concrets avec de la mesure (en m, kg, €) qu'on peut franchir cette difficulté et accepter qu'il y a des divisions qui ne font pas diminuer le nombre de départ.

Il n'y a probablement pas que tes élèves qui ont cette difficulté, ça me fait penser que je devrais ajouter un petit paragraphe sur mon site dans l'article sur les techniques de division pour signaler que si on enseigne une technique qui s'appuie exclusivement sur le sens "partager en n parts" il faut se préparer à affronter ensuite cet obstacle.

Merci beaucoup pour cet exemple très parlant !! Le retour au concret , je n'y avais pas pensé !!! Encore merci ! je leur en fais un retour dès demain...j'ai différé mon explication parce que je ne savais pas trop comment le présenter !

D'habitude, je me base sur les stratégies de calcul des élèves pour faire ressortir celles qui sont pertinentes et là, j'ai proposé d'emblée et me suis retrouvée piégée ! 

merci merci

 

[vieuxmatheux]

J'ai répondu rapidement à la question telle qu'elle était posée, sans aller vérifier ce qu'en disent les programmes (honte sur moi)

Concernant la division, même en calcul posé, on ne trouve que ceci pour le cycle 3 :

 

- la division d’un nombre décimal (entier ou non) par un nombre entier.

La division par 0,5 n'est donc clairement pas parmi les objectifs fixés par les programmes… ce qui n'interdit pas de l'aborder si ça ne met pas en difficulté inutilement certains élèves.