Maths - PGCD

[Isabelle30]

Bjr,

je suis sûre que c' facile mais je n'y arrive pas.

Trouver s'ils existent, les nb entiers naturels a et b qui vérifient les deux conditions suivantes:

PGCD (a;b) = 13 et a x b = 14196

On rappelle que la notation PGCD (a;b) désigne le plus grand diviseur commun aux nb a et b.

Autre remarque: les devoirs du CNED en maths sont longs et durs ou c' juste moi qui fatigue ?

Isabelle.

[Shubert]

Un indice : PGCD*PPCM = a*b

Je te laisse continuer... pendant que je cherche moi-même la suite!!

[Dominique]

je suis sûre que c' facile mais je n'y arrive pas.

Trouver s'ils existent, les nb entiers naturels a et b qui vérifient les deux conditions suivantes:

PGCD (a;b) = 13 et a x b = 14196

On rappelle que la notation PGCD (a;b) désigne le plus grand diviseur commun aux nb a et b.

On ne peut pas dire, de mon point de vue, que cet exercice soit "facile"

Je recopie la solution que j'avais donnée dans un autre fil de discussion sur le sujet :

Si on décompose 14196 en produit de nombres premiers, on trouve

14196 = 2² × 3 x 7 × 13².

13 est un diviseur de a et b donc un des facteurs 13 provient de la décomposition en nombres premiers de a et l'autre facteur 13 de la décomposition en nombres premiers de b.

Comme 13 doit être le plus grand diviseur commun à a et b, on trouve toutes les solutions en cherchant toutes les manières de répartir les autres facteurs entre les décompositions de a et b qui ne font pas appraître un même facteur autre que 13 dans les deux décompositions.

D'où les solutions :

a = 13 x 2² x 3 × 7 = 1092 et b = 13 (et bien sûr a = 13 et b = 1092)

a = 13 x 2² x 3 = 156 et b = 13 x 7 = 91 (et bien sûr a = 91 et b = 156)

a = 13 × 2² x 7 = 364 et b = 13 × 3 = 39 (et bien sûr a = 39 et b = 364)

a = 13 x 2² = 52 et b = 13 x 3 x 7 = 273 (et bien sûr a = 273 et b = 52)

[aud_rey]

Tu peux dire que a=13x et b=13y

Tu remplaces ces égalités dans axb=14196

[Grapholina]

Autre remarque: les devoirs du CNED en maths sont longs et durs ou c' juste moi qui fatigue ?

Moi aussi je les trouves de plus en plsu long!

c'est peu etre pour nous mettre enn condition!

[zorro2004]

PGCD (a,b)= 13

a * b = 14196

13 est un nombre premier, il est donc le seul diviseur commun de a et de b

Soient X et Y, 2 entiers naturels, on a donc :

a/13 = X ==> a=13 X

b/13 = Y ==> b = 13 Y

On a donc :

a * b = 13 X * 13 Y

14196 = 13 X * 13 Y

14196 /13 Y = 13 X

X = (14196 / 13y) * 1 / 13

a * 13 Y = 13 X * 13 Y = 14196

a = (13 X * 13 Y ) * 1 / 13 Y = 14196

a = 13 X = 14196

a = X = 14196 / 13 = 1092

a = 1092

a * b = 14196 ==> b = 14196 / 1092 = 13

Il existe donc 2 entiers naturels a et b tels que PGCD (a,b) = 13 et a*b = 14196

a = 1092

b = 13

Voilà ce que j'aurais donné comme réponse...

[zorro2004]

Bon, je viens de voir la répônse de Dominique, c'est plus clair pour moi aussi... je passe par des raisonnements un peu tordus et inutiles...

[Dominique]

.../...

a *  13 Y = 13 X * 13 Y = 14196

a = (13 X * 13 Y ) * 1 / 13 Y = 14196

.../...

De a * 13 Y = 13 X * 13 Y = 14196 tu peux effectivement conclure que

a = 13 X * 13 Y * 1 / 13 Y (ceci dit, ça n'a pas beaucoup d'intérêt puique ça consiste à écrire que a = 13 * X) mais pas en conclure que a = 14196.

Ce que tu devrais écrire c'est que a = 14196 * 1/(13Y) (mais là encore, tu tournes en rond puisqu'on retombe en fait sur a = 13 * X )

[zorro2004]

Encore une fois désolée, très mauvaise réponse de ma part ...

Comment ai-je pu écrire que

a = 13 X

et plus bas a = X...

Désolée

Il va falloir que je me réveille ou que je metteles bouchées doubles pour les maths...

[zorro2004]

Oui, Domi, j'ai tourné en rond un long moment ...

[Isabelle30]

un grand merci.

Isabelle.

[laurymado]

j'aimerais savoir comment trouver rapidement que :

14196 = 2² × 3 x 7 × 13²

y a t il une methode? j'ai bien compris comment trouver 13^2 (parce que axb avec a=13x et b+13y) mais apres comment decomposer dans le temps du concours?