exo de numération

[davido]

Hello, voici un exo que je n'arrive pas à résoudre, si ça tente qqu, voici l'énoncé

En base 10, étant donnés 3 chiffres a, b et c ( a différent de c ), on considère le nombre abc. On permute les chiffres a et c et on obtient cba.

On retranche le plus petit des deux nombres au plus grand et on obtient xyz.

On calcule alors xyz + zyx.

Montrer que l'on obtient toujours le meme nombre 1089

bon courage

[Dominique]

En base 10, étant donnés 3 chiffres a, b et c ( a différent de c ), on considère le nombre abc. On permute les chiffres a et c et on obtient cba.

On retranche le plus petit des deux nombres au plus grand et on obtient xyz.

On calcule alors xyz + zyx.

Montrer que l'on obtient toujours le meme nombre 1089

On suppose a > c

Effectuons la soustraction abc - cba :

- Recherche du chiffre des unités z :

c < a. Il y a donc une retenue et z = 10 + c - a

- Recherche du chiffre des dizaines y :

On doit effectuer b - (b +1). Il y a donc à nouveau

une retenue et y = 10 + b - (b +1) = 9

- Recherche du chiffre des centaines x :

x = a - (c+1) = a - c - 1

Calcul de xyz + zyx :

xyz + zyx = 100x +10y + z + 100z + 10y + x = 101x + 20y + 101z

= 101(a - c - 1) + 20 × 9 + 101(10 + c - a) = -101 + 180 + 1010 = 1089

[licou]

Merci Dominique, c'est d'une clarté !

j'étais arrivée à peu près à cela mais dans un tel fouillis que je n'arrivais plus à me comprendre moi même

Licou

[Dominique]

je n'arrivais plus à me comprendre moi même 

Ca, ça m'arrive aussi

[abracadabra]

Je me lance?

On a donc abc-cba=xyz

On se place dans le cas où a>c

(si a<c on a alors le même raisonnement mais avec cba-abc=-(abc-cba) )

Bon, donc a>c alors la soustraction sur les unités doit nous faire poser une retenue aux dizaines. La soustraction sur les dizaines c'est "b moins b" avec une retenue: alors on peut en déduire que y=9

Revenons à l'équation: elle se pose mathématiquement comme

100a + 10b +c -100a -10b -c = 99a - 99c = 99 (a-c)

donc on aura xyz qui doit être un multiple de 99 dont y = 9

à cause de cela x + z = 9

On doit vérifier

100x + 10y +z +100z +10y +100z = 1089

soit

101x + 20y +101z = 1089

avec y=9

101(x+z)+180=1089

soit

101(x+z)=909

soit x+z = 9

Et c'est la condition posée ci-dessus. Donc c'est vérifié

Euh: je crois que ce n'est pas le plus simple et je viens de voir ta proposition Dominique. :P C'est en effet BEAUCOUP plus simple comme ça!!!

[licou]

Je trouve que dans ce genre d'exercice, il y a deux difficultés :

- savoir par quel bout commencer

- ne pas perdre de vue ce qu'on cherche pour éviter de tourner en rond !

[abracadabra]

Je trouve que dans ce genre d'exercice, il y a deux difficultés :

- savoir par quel bout commencer

- ne pas perdre de vue ce qu'on cherche pour éviter de tourner en rond !

<{POST_SNAPBACK}>

A mon avis le jour du concours si on sèche, il ne faut pas s'énerver: passer à la suite afin d'éviter de perdre du temps à s'arracher les cheveux! et n'y revenir qu'à la fin!!!

[licou]

Je trouve que dans ce genre d'exercice, il y a deux difficultés :

- savoir par quel bout commencer

- ne pas perdre de vue ce qu'on cherche pour éviter de tourner en rond !

<{POST_SNAPBACK}>

A mon avis le jour du concours si on sèche, il ne faut pas s'énerver: passer à la suite afin d'éviter de perdre du temps à s'arracher les cheveux! et n'y revenir qu'à la fin!!!

<{POST_SNAPBACK}>

oui car avec le stress en plus ce type d'exo c'est l'horreur !

[Dominique]

Je trouve que dans ce genre d'exercice, il y a deux difficultés :

- savoir par quel bout commencer

- ne pas perdre de vue ce qu'on cherche pour éviter de tourner en rond !

<{POST_SNAPBACK}>

Effectivement, on ne sait pas par quel bout commencer.

En général, pour pouvoir faire des calculs quand on dispose de l'écriture chiffrée d'un nombre, par exemple abc, on remplace abc par 100a + 10b + c et c'est évidemment important de savoir que c'est ce qu'on fait dans beaucoup d'exercices.

Mais, ici, il m'a semblé plus facile de ne pas remplacer abc par 100a + 10b + c et de voir ce qui se passait quand on on effectuait la soustraction abc - cba parce qu'il ne fallait pas trouver la valeur de abc - cba en fonction de a, b et c mais qu'il fallait trouver quels étaient les chiffres x, y et z permettant d'écrire le résultat.