Divisibilité par 11

[Shubert]

(J'ouvre un nouveau post pour remettre cet exercice.)

Vous avez aimé cette règle, vous en redemandez? Alors voilà de quoi vous satisfaire :

c'est un exercice que j'ai trouvé (issu de Grenoble, Lyon 2002) avec cette fameuse règle... qui était donnée :

"Un entier naturel n est divisible par 11 ssi la différence (1° chiffre en partant de la droite + 3° chiffre + 5° chiffre + ...) - (2° chiffre en partant de la droite + 4° + 6° +...) est divisible par 11 (ou la somme des chiffres de rang impair diminuée de la somme des chiffres de rang par est divisible par 11).

Exemples:

6457 est divisible par 11; en effet : (7+4)-(5+6)=0

19346701 est divisible par 11 ; on a (1+7+4+9) - (0+6+3+1) =11

1. On considère tous les nombres entiers naturels de 4 chiffres diffférents écrits avec les chiffres 2,5,6 et 9.

a) Parmi ces nombres, déterminez-en un qui est divisible par 11.

b) Par mi ces nombres, déterminez tous les nombres qui sont divisibles par 11. ECrivez les.

2. On considère tous les nombres entiers naturels de 6 chiffres différents écrits avec les chiffres 1,2,3,4,5 et6. Parmi ces nombres, existe-t-il un nombre qui est divisible par 11? Justifiez votre réponse."

Bon courage! Ca ne valait que 2 points, ce qui peut faire la différence quant même! J'espère que vous trouverez car la correction est longue dans le bouquin!

[sandring]

je couche les enfants et je mets mon cerveau en ébullition ...

[sandring]

pour le 1er exo, je n'ai pas eu de pbm, à moins que je me sois plantée.

Voici tous les nombres à 4 chiffres avec 2, 5, 6 et 9 divisible par 11 :

2596 ; 2695 ; 5269 ; 5962 ; 6259 ; 6952 ; 9526 ; 9625

Pour l'exo 2, j'ai envie de te dire qu'a priori, il n'y a pas de nombre à 6 chiffres divisible par 11 avec les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6. Je ne trouve pas de point d'équilibre.

L'ensemble de ces nombres fait 21, est-ce pour cette raison ? 21 n'est pas divible ni par 11 ni par 2, donc pas d'équilibre possible ?

autre hypothèse :

Je retrouve une symétrie qui fait 7 à chaque fois (donc nombre premier et rien à voir avec 11) :

1+6=7

2+5=7

3+4=7

Non, vraiment, je donne ma langue au chat ! As-tu une réponse plus mathématique que les miennes ?

[sandring]

Ma chère Shubert, je ne sais pas si nous sommes les deux seules edpiennes à nous éclater sur la divisibilité par 11, mais voici le nouveau jeu que je propose (je ne l'ai pas encore fait et à cette heure-ci, mon cerveau m'enverrait ballader si je le lui proposais) :

Les lettres a et a' représentent des entiers naturels.

Dans la division eucl. de a par 11, le reste est r

Dans la div eucl de a' par 11, le reste est r'

Déterminer le reste :

a) dans la division euclidienne de a + a' par 11

b) dans la division eucl. de 3a par 11.

[abracadabra]

pour le deuxième exercice:

a) le reste est égal à (r+r') si r+r'<11 sinon il est égal à (r+r'-11)

b) si r<4 alors le reste est égal à 3r

4=<r=<7 il est égal à 3r-11

r>8 il est égal à 3r+22

sinon pour le premier exercice, vous avez une explication de la seconde partie à part des "intuitions"???

[sandring]

je n'ai ni regardé la correction d'abracadabra, ni mon corrigé.

Je propose :

1. Quel est le reste pour a+a'/11 ?

r+r' si <11

si r+r' = 11 alors la réponse est 0

et si r+r'>11 alors la réponse est 11-(r+r')

2. Quel reste pour 3a/11 ?

a=(11xb)+r

3a=(3x11xb) + 3r

3a=11x3b+3r

Le reste est donc égal à 3r, à condition biensûr que 3r soit strictement inférieur à 11, sinon même principe que ci-dessus.

je mets en ligne la réponse demain soir.

[sandring]

pour le deuxième exercice:

b) si r<4 alors le reste est égal à 3r

        4=<r=<7  il est égal à 3r-11

            r>8 il est égal à 3r+22

pas compris

[Shubert]

Pour l'exo que j'ai proposé (grenoble, lyon 2002), voilà le corrigé:

1 a) On voit par exemple que : 2+9=6+5 6+5-(9+2)=0

On en déduit que 2596 est divisible par 11.

b) Tous les nombres avec les chiffres 2,5,6 et 9 (il y en a 24) sont testés selon le critère de l'énoncé. Il y a 8 solutions :

2596

2695

5269

5962

6259

6952

9526

9625

2. Supposons qu'il existe un nombre n répondant aux xpécifications de l'énoncé, on aurait:

n=abcdef avec (f+d+b)-(e+c+a) multiple de 11.

On aurait aussi en considérant la plus petite et la plus grande différence:

(1+2+3)-(6+5+4)<(f+d+b)-(e+c+a)<(6+5+4)-(1+2+3)

-9<(f+d+b)-(e+c+a)<9

Et comme 0 est le seul divisible par 11 compris en ter -9 et 9:

(f+d+b)-(e+c+a)=0 soit f+d+b-e-c-a=0

Or la somme d'entiers relatifs f+d+b-e-c-a contient 3 nb pairs et 3 nb impairs, elle est nécessairement impaire.

En résumé, s'il existait un nombre n=abcdef répondant aux spécifications de l'énoncé, on aurait la contradiction suivante:

f+d+b-e-c-a=0 et f+d+b-e-c-a impair. Donc pas de nombre composé de 1,2,3,4,5 et 6divisible par 11 (j'ai fait plus simple qu'eux!) :P

Merci Sandring pour ta proposition d'énoncé (je vois qu'on est plusieurs à s'éclater sur ce genre de problème!), mais je l'ai déjà fait 3 fois, avec à chaque fois beaucoup de mal. Je vais essayer de recommencer avant de regarder les corrections proposées.

Bonne chance pour la suite!

[abracadabra]

b) si r<4 alors le reste est égal à 3r

        4=<r=<7  il est égal à 3r-11

            r>8 il est égal à 3r+22

<{POST_SNAPBACK}>

Sandring, je viens de voir que j'avais un peu cafouillé! je reprends....

Le reste est égal à 3r pourvu que 3r ne soit pas supérieur à 11 car dans ce cas il faut retrancher 11 encore une fois

si r<4 alors le reste est égal à 3r

j'aurais plutôt du mettre si r <= 3 (inférieur ou égal à)

dans ce cas 3r est inférieur ou égal à 9 alors le reste est 3r

si 4=<r=<7 il est égal à 3r-11

dans ce cas 3r est compris entre 12 et 21 on doit donc retrancher 11 pour avoir le reste 3r-11 compris entre 1 et 10

si r>8 il est égal à 3r+22

zut c'est r >=8 (supérieur ou égal à 8) alors 3r est supérieur ou égal à 24 (et inféreur strictement à 33 car r est inférieur à 11)

alors le reste vaut 3r-22 (oups je m'aperçois que je m'étais trompée! ) pour être inférieur à 11

Désolée mais je m'aperçois que j'avais fait plusieurs erreurs d'écriture: le stress de voir mon forfait défiler et de vouloir en garder un peu avant la fin du mois

[abracadabra]

(j'ai fait plus simple qu'eux!) :P

<{POST_SNAPBACK}>

j'espère qu'on aura encore plus simple comme solution à rédiger "ce" jour-là!!!