DA- Posté(e) 24 avril 2005 Auteur Posté(e) 24 avril 2005 LA PROPORTIONNALITE Deux suites de nombres ayant le même nombre de termes sont dites "proportionnelles" si on peut passer de l'une à l'autre par un même opérateur multiplicatif : le coefficient de proportionnalité Différents cadres de la proportionnalité - Cadre algébrique : la formule - Cadre numérique : le tableau - Cadre graphique : la représentation, fonction linéaire (droite passant par l'origine) Procédures de résolution - Passage à l'unité - Coefficient de proportionnalité - Propriété de linéarité additive ou multiplicative - Rapports égaux - Produits en croix - Rapport scalaire (nombres associés à une même variable) - Graphique Variables didactiques - Nature des grandeurs mises en jeu qui peut faciliter ou non l'interprétation du coefficient de proportionnalité - Relations arithmétiques entre les nombres - Nombre de couples donnés - Le cadre de résolution Thématiques mathématiques liées à la proportionnalité - Thalès - Agrandissements et Réductions (homothéties) - Vitesse : d = v x t - Pourcentages - Echelles
DA- Posté(e) 24 avril 2005 Auteur Posté(e) 24 avril 2005 LA RESOLUTION DE PROBLEMES CLASSIFICATION DES PROBLEMES - Problèmes pour apprendre : construction des connaissances (outils peu performants et/ou connaissances nouvelles entrant en conflit avec les savoirs antérieurs) => Franchissement d'un obstacle ~> Les situations-problèmes - La situation a pour objectif l'acquisition d'une connaissance nouvelle - Il y a un ou des obstacles à l'acquisition de la connaissance - Les élèves peuvent s'approprier facilement la situation - Les connaissances des élèves sont insuffisantes pour résoudre immédiatement le problème - Les élèves ont le moyen de valider leur production - Les élèves peuvent prendre en charge la responsabilité du problème - La connaissance visée est la plus adaptée pour résoudre le problème correctement - Problèmes pour réinvestir Ils permettent l'utilisation "directe" des connaissances acquises. - Problèmes pour chercher Apprendre à organiser l'information Apprendre à chercher, à organiser des stratégies Apprendre à formuler et communiquer sa démarche ~> Problèmes ouverts : énoncés courts et n'induisant ni la méthode ni la solution OPPOSITION entre solutions peronnelles et solutions expertes - Représenter la situation par un dessin - Formuler des hypothèses jusqu'à atteindre la solution par tâtonnement - Mettre en équation le problème : procédure experte LES PHASES LORS DE L'ACTIVITE DE RESOLUTION DE PROBLEME - Prise d'infomations, recueillir et organiser les données - Traitement de l'information : mettre en relation les données et rechercher des stratégies de résolution - Communication de la réponse ~> Grandes phases socio-constructivistes - Appropriation individuelle de la situation : dévolution - Action, recherche par groupes - Formulation, explicitation - Validation - Institutionnalisation - Application, réinvestissement LES VARIABLES DIDACTIQUES - Forme de l'énoncé - Nombre d'informations - Nature des informations - Présence ou non de mots inducteurs - Possiblité de s'approprier l'énoncé en changeant de modalité d'expression - Nature du questionnement - Types de stratégies pouvant être mises en place Cf. Les termes du contrat didactique !
DA- Posté(e) 24 avril 2005 Auteur Posté(e) 24 avril 2005 GEOMETRIE GEOMETRIE PLANE THEORIE Les droites - Parallélisme ** Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles ** Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles Théorème de la droite des milieux Théorème de Thalès - Perpendicularité ** Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre Théorème de Pythagore Les angles Angle saillant Angle rentrant Angle droit Angle plat Angle nul Angle aigu Angle obtus Angles complémentaires Angles supplémentaires Angles adjacents Angles alternes-internes Angles alternes-externes Angles correspondants Angles inscrits (attention à l'angle droit) Angles au centre (mesure - angle droit) Les triangles - Inégalité triangulaire - Triangle isocèle - Triangle équilatéral - Triangle rectangle - Les droites remarquables Médiatrices = cercle circonscrit au triangle Médianes = centre de gravité Hauteurs = orthocentre Bissectrices = cercle inscrit au triangle - Théorème de Thalès et sa réciproque - Théorème des milieux et sa réciproque ** La droite passant par le milieu d'un côté d'un triangle parallélement à un autre côté passe par le milieu du troisième côté ** La droite qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté ** Par ailleurs, si dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle mesure la moitié du troisième côté -Théorème de Pythagore et sa réciproque ** Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés de l'angle droit ** Si dans un triangle, le carré de la longueur d'un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors le triangle est rectangle Applications : -> Dans un carré de côté a, la longueur de la diagonale est aV2 -> Dans un triangle équilatéral, la hauteur est égale à aV3/2 Les quadrilatères - Polygone concave ou convexe - Le trapèze - Le parallélogramme - Le rectangle - Le losange - Le carré Le cercle
DA- Posté(e) 24 avril 2005 Auteur Posté(e) 24 avril 2005 GEOMETRIE GEOMETRIE PLANE DIDACTIQUE - Espace physique / Espace géométrique - CALVES & BROUSSEAU distinguent trois espaces : Micro espace Meso espace Macro espace LES OBJECTIFS DE L'ECOLE PRIMAIRE - Reproduire : réalisation d'une copie exacte de l'objet en présence - Décrire : s'exprimer sur l'objet - Représenter : multiplicité des représentations associées à un même objets - Construire : réalisation hors de la présence d'un modèle (à partir d'une description détaillée ou d'un programme de construction) + Compétences techniques : maniement de certains instruments pour tracer mais aussi pour obtenir des informations + Vocabulaire spécifique + Connaître et reconnaître les éléments caractéristiques d'une figure + Organiser une démarche + Avoir des qualités de soin et de précision VARIABLES DIDACTIQUES - Support du tracé : papier blanc ou papier quadrillé - Orientation - Nombre d'informations - Instruments - Consignes LES PROGRESSIONS - Le point, la ligne, la ligne droite, ... - La progression catalogue des figures calssiques aux figures plus rares - La progression par inclusion de classes, classifications successives
DA- Posté(e) 24 avril 2005 Auteur Posté(e) 24 avril 2005 GEOMETRIE LA GEOMETRIE DANS L'ESPACE - Le polyèdre - La relation d'EULER : F + S = A + 2 Le tétraèdre régulier Le cube L'octoèdre régulier Le dodécaère régulier L'iosaèdre régulier Le prisme Le parallélépipède La pyramide Le cylindre La sphère Le cône LES REPRESENTATIONS - Perspective cavalière - Perspective axonométrique - Le patron => DIDACTIQUE : le PATRON à l'école Les activités proposées aux élèves pour établir le lien entre un patron et un solide sont les suivantes : ** Association de patrons et de polyèdres ** Association de patrons correspondant au même solide ** Construction de patrons ** Travail sur les vues en perspective ** Détermination de faux patrons ** Recherche exhaustive de tous les patrons ** Reconnaissance de faux solides Pour reconnaître un patron : l'enfant doit s'assurer que toutes les faces sont représentées, que les côtés des polygones se correspondent après par pliage et que deux faces ne superposent pas Variables didactiques : nature du solide / présence ou non du solide / possibilité ou non de découper et plier le dessin Pour construire le patron : empreinte des faces, l'enfant peut dessiner le patron en faisant rouler le solide sur une feuille et en traçant l'empreinte de chaque face
DA- Posté(e) 24 avril 2005 Auteur Posté(e) 24 avril 2005 LES TRANSFORMATIONS LA SYMETRIE AXIALE OU ORTHOGONALE La symétrie axiale est LA SEULE transformation géométrique présente à l'école élémentaire du CP au CM2 - Construction du symétrique d'une figure par rapport à un axe donné Pliage Usage du papier quadrillé Usage du papier calque Usage du papier blanc avec équerre ou compas Main levée => Variables didactiques : la figure, les outils, l'axe - Identification de l'axe de symétrie d'une figure LA SYMETRIE CENTRALE LES DEPLACEMENTS : ROTATION ET TRANSLATION LES REDUCTIONS ET AGRANDISSEMENTS Homothétie de centre O et de rapport K est un agrandissement de la figure si K est supérieur à 1 ou une réduction si K est inférieur à 1 Cf. Proportionnalité
DA- Posté(e) 24 avril 2005 Auteur Posté(e) 24 avril 2005 LES MESURES PLUSIEURS GRANDEURS - Grandeurs non repérables - Grandeurs repérables mais non sommables - Grandeurs mesurables (relations d'équivalence, d'ordre, d'addition et de multiplication) LA COMPARAISON DES GRANDEURS REPERABLES ET MESURABLES - Comparaison directe de deux objets - Comparaison avec utilisation d'un objet intermédiaire, un étalon - Comparaison par une transformation licite : on reporte l'objet sans recouvrement et chevauchement de façon à encadrer la grandeur à mesurer - Mesurage ~> Les mesures - Longueur - Masse - Capacité - Surface - Volume - Durée ~> Formulaire pour les périmètres, les aires, les volumes Choix de la formule Identification des valeurs Réalisation du calcul ~> Progression : - Constuire le sens de la mesure - Activités de mesurage - Utilisation d'une unité conventionnelle
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