Problème maths lyon 2002

[tibou]

Pouvez vous m'aider à résoudre ce problème:

Le caissier d'une banque verse 15000 euros en billets de 10, 50, 100 et 500 euros.

Il utilise dix fois plus de billets de 50 euros que de billets de 10 euros et deux fois plus de billets de 500 euros que de billets de 100 euros

Combien a t il compté de billets de chaque sorte?

Je n'arrive pas à résoudre ce problème, j'ai l'impression qu'il manque des données.

[nenie14]

On a 10a=b et d=2c

Or 10a+50b+100c+500d=15000

En remplaçant b et d, il vient :

b+50b+100c+1000c=15000

soit 51b+1100c=15000

Or 51=3*7 et 1100=2*2*5*5*11 sont premiers entre eux.

Ainsi 51b + 1100 c = 15000 donne

c=9 et b=100

d'où a=10 et d=18

EN faisant la somme suivante 10a+50b+100c+500d, il vient

10*10+50*100+100*9+500*18=100+5000+900+9000=15000 cqfd.

Voici la solution que j'ai trouvé sur le net mais je t'avouerais que je comprends pas le coup où les nbs st 1èrs entre eux et qu'ainsi on trouve c=9 et b=100...

Si une âme charitable pouvait se pencher sur le sujet...

[celdemarseille]

j'ai séché aussi à partir de la deuxième partie... d'après le vuibert après avoir obtenu l'égalité : 51 a + 110 c =1500

1500 étant multiple de 10 a est forcément multiple de 10 :

si a = 0 impossible, 1500 n'est pas multiple de 110

si a=10, 510+110c=1500 d'où 110 c=990 et c =9

si a =20, 1020=110c=1500 d'où 110c=480 imposible pas multiple de 110

sia=30, 1530+110c=1500 impossible ainsi que pour le a plus grnds

on a donc a=10, d'où b=100 et c=9 d'où d=18

[B.A.]

Ma participation...

J'ai posé soit x le nombre de billets de 10 euros

donc j'ai 10x billets de 50 euros

puis y le nbre de billets de 100 euros

donc j'ai 2y billets de 500euros

Avec ca j'ai repris l'enoncé soit :

10x + 500 x + 100y +1000y = 15000

soit 510x + 1100 y = 15000

Après j'ai fait par tatonnement, comme j'suis pas courageuse j'ai optimisé :

15000 : 510 = 29 et des bananes donc 0 < x < 29

15000 :1100 = 13 et des broutilles donc 0 < y < 13

En regrdant mon équationde plus près

510 x + 1100 y = 15000

j'ai vu que 15000 et 1100 était multiple de 100, manque 510 qui n'est que multiple de 10 donc si x =10 ou x= 20 il sera lui aussi multiple de 100

Donc si x = 10 j'obtiens 5100 + 1100 y = 15000

1100 y = 9900

y = 9

J'ai donc 10 billets de 10euros soit 100 billets de 50 euros

et j'ai 9 billets de 100 euros soit 18 de 500 euros

Voilà je sais pas si c'est clair

Bon courage

[elora danan]

Pouvez vous m'aider à résoudre ce problème:

Le caissier d'une banque verse 15000 euros en billets de 10, 50, 100 et 500 euros.

Il utilise dix fois plus de billets de 50 euros que de billets de 10 euros et deux fois plus de billets de 500 euros que de billets de 100 euros

Combien a t il compté de billets de chaque sorte?

Je n'arrive pas à résoudre ce problème, j'ai l'impression qu'il manque des données.

<{POST_SNAPBACK}>

x billets de 10 euros

10x billets de 50 euros

y billets de 100 euros

2y billets de 500 euros

--> 15000 = 10 * x + 10x * 50 + 100 * y + 500 * 2y

15000 = 510 * x + 1100 * y

y 1100 * y x = ( 15000 - 1100 * y ) / 510

1 1100 27.255

2 2200 25.098

3 3300 22.941

4 4400 20.784

5 5500 18.627

6 6600 16.471

7 7700 14.313

8 8800 12.156

9 9900 10

10 11000 7.843

11 12100 5.686

12 13200 3.529

13 14300 1.372

14 15400 > 15000

La seule solution possible est donc x = 10, y = 9

--> 10 billets de 10 euros

100 billets de 50 euros

9 billets de 100 euros

18 billets de 500 euros

[Dominique]

Je n'arrive pas à résoudre ce problème, j'ai l'impression qu'il manque des données.

Si on appelle a le nombre de billets de 10€, b le nombre de billets de 50€, c le nombre de billets de 100€ et d le nombre de billets de 500€, on peut écrire un système de trois équations à quatre inconnues et, effectivement, si on ne tenait pas compte du fait que a, b, c et d doivent être des nombres entiers positifs, on arriverait à trouver une infinité de solutions. En fait, ce n'est pas le cas car a, b, c et d doivent être des entiers positifs mais ce n'est pas simple ...

Après calcul, on arrive à 51a + 110c = 1500 avec a et c entiers positifs.

Il se peut que certains aient trouvé sur le web des manières assez compliquées de résoudre cette équation car cette équation peut être résolue en faisant appel à la théorie des équations diophantiennes (équations du type nx + py = q avec n, p et q nombres entiers positifs donnés et où on cherche x et y entiers relatifs) mais c'est tout à fait hors de portée d'un candidat au CRPE qui n'a pas fait des études poussées en mathématiques.

Une solution à ce problème pour le CRPE est celle que celdemarseille a trouvée dans les annales Vuibert :

51a = 1500 - 110c

1500 - 110c est un multiple de 10

Donc 51a doit être un multiple de 10 mais 51 = 3×17 donc 51a ne peut être un multiple de 10 que si a est un multiple de 10.

On essaie ensuite successivement :

a = 0 impossible car 1500 n'est pas multiple de 110

a=10 510+110c=1500 d'où 110c=990 d'où c =9

a =20 1020+110c=1500 d'où 110c=480 impossible car 480 pas multiple de 110

a=30 1530+110c=1500 impossible ainsi que pour les a plus grands (c ne peut pas être négatif)

On a donc a=10 d'où b=100 et c=9 d'où d=18.

A retenir : en face d'une équation tordue du type nx + py = q où on cherche x et y entiers penser à raisonner en faisant intervenir la notion de multiple ...

[nadinou]

On a 10a=b et d=2c

Or 10a+50b+100c+500d=15000

Je suis désolée. ..... je ne comprends pas comment vous arrivez à 10a=b car il utilise 10 fois plus de billets de 50 que de billets de 10 alors moi, j'ai mis a= 10b et de la même manière c=2d ...............ohlalalala............j'y comprends vraiment rien <_<

ça promet!!

[Dominique]

Je suis désolée. ..... je ne comprends pas comment vous arrivez à 10a=b car il utilise 10 fois plus de billets de 50 que de billets de 10 alors moi, j'ai mis a= 10b et de la même manière c=2d ...............ohlalalala............j'y comprends vraiment rien  <_<

"Il y a dix fois plus de billets de 50 € que de billets de 10 €"

peut être remplacé par

"Le nombre de billets de 50 € est dix fois plus élevé que le nombre de billets de 10 €"

donc par

"Le nombre de billets de 50 € est égal à dix fois le nombre de billets de 10 €"

donc par

b = 10 x a

[Socrates]

Amusant...

il me semble que ce probleme avait causé les mêmes soucis l'an passé...

[Nefer]

A retenir : en face d'une équation tordue du type nx + py = q où on cherche x et y entiers penser à raisonner en faisant intervenir la notion de multiple ...

<{POST_SNAPBACK}>

une autre solution, pas si différente, qui fait intervenir la notion de multiple :

10a + 50b + 100c + 500d = 15 000

b=10a ----> donc b est multiple de 10 car appartenant à N

d=2c ------> donc d est multiple de 2 car appartenant à N

b + 50b + 50d + 500d = 15 000

51b + 550d = 15 000

51b = 15 000 - 550d

51b = 50 (300 - 11d) --------> donc b est multiple de 50 car 51 ne l'est pas

550d = 15 000 - 51b

550d = 3 (5 000 - 17b) ----------> donc d est multiple de 3 car 550 ne l'est pas

(donc d est multiple de 2 x 3 = 6)

solutions plausibles pour b [50 ; 100 ; 150 ; 200 ; 250]

solutions plausibles pour d [6 ; 12 ; 18 ; 24]

[nadinou]

Merci mais j'espère vraiment qu'il n'y aura pas un exo de ce style <_<

[catmary]

On a 10a=b et d=2c

Or 10a+50b+100c+500d=15000

Je suis désolée. ..... je ne comprends pas comment vous arrivez à 10a=b car il utilise 10 fois plus de billets de 50 que de billets de 10 alors moi, j'ai mis a= 10b et de la même manière c=2d ...............ohlalalala............j'y comprends vraiment rien <_<

ça promet!!

<{POST_SNAPBACK}>

je n'ai compris ce problème qu'en faisant un dessin de billets de 50 et de 10 ce qui permet de comprendre l'équation