nombres premiers !!!

[sarahbel]

qu'est ce qu'un nombre premier, pourquoi en a t-on besoin pour trouver le diviseur commun ou le multiple commun à deux nombres ?

[dada]

Les pros des maths viendront te donner plus d'explications mais en attendant tu peux déjà lire ça.

[touteuh]

Salut,

Un nombre premier est un nombre qui ne peut se diviser que par lui-même et par 1.

Ensuite on recherche un diviseur commun pour simplifier les fractions. Par exemple il est plus facile de calculer de tête ( 3/2 + 4/2 ) que (165/110 + 84/42)... non?

[sarahbel]

TROP COMPLIQUE !!! Vous n'avez pas plus simple pour le concours !!!

Salut,

Un nombre premier est un nombre qui ne peut se diviser que par lui-même et par 1.

Ensuite on recherche un diviseur commun pour simplifier les fractions. Par exemple il est plus facile de calculer de tête ( 3/2 + 4/2 ) que (165/110 + 84/42)... non?

cé déjà mieux, plus abordable !!!

[Anwamanë]

Bonsoir sarahbel !

Un nombre premier est un entier naturel strictement supérieur à 1, admettant exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. L'ensemble des nombres premiers est noté ℙ.

Si tu préfères, c'est un nombre qui n'est pas factorisable.

Bon courage

[domdom6]

Un nombre premier est donc un entier naturel strictement supérieur à 1, admettant exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.

Il te sert dans la décomposition des nombres.

Ex: décomposition de 36= 4*9 mais ce ne sont pas des nombres premiers

La décomposition de 36 en facteurs premiers est 2*2*3*3.

Le diviseur commun (PGCD) de 2 nombres est le plus grand diviseur commun de ces 2 nombres. On utilise donc la décomposition des nombres en nombre premier.

Ex: 36=2*2*3*3

15=3*5

PGCD(36, 15)=3 car c'est le seul nombre premier commun aux 2 décompositions, on prend sa plus grande puissance

Voilà je ne suis pas très claire mais j'espère que ça t'aura un petit peu aidé.

[crpe]

Les nombres deuxième sont les nombres qu'ont ne peut se diviser que par eux-même et par 2!

De même que les nombres troisième....

A noter également que les nombres premiers se distingue généralement sous 4 formes:

Nmp(k,n) = (2 n - k)*2n + 1

Nmm(k,n) = (2 n - k)*2n - 1

Npp(k,n) = (2 n +k)*2n + 1

Npm(k,n) = (2 n + k)*2n - 1

Les nombres premiers des formes (2 n - k)*2n + 1 (pour tout k<2n) et (2 n +k)*2n - 1 (pour k pair <2n) peuvent être testés grâce au théorème de Proth (Test en N-1), les formes (2 n - k)*2n - 1 (pour tout k<2n) et (2 n +k)*2n - 1 (pour k pair <2n) grâce aux suites de Lucas (Test en N+1), les autres formes présentent plus de difficultés.

Il est donc possible d'obtenir des nombres premiers au moins aussi grands que ceux des formes k*2n+1 ou k*2n-1 (voir Top ci-dessous).

Ces nombres présentent des similitudes de comportement avec les formes k*2n+1 ou k*2n-1:

Il existe des Twins (Nmp(k,n) et Nmm(k,n) premiers ou Npp(k,n) et Npm(k,n) premiers)

Il existe des k Sierpinski ou Riesel et Brier. Il est même inutile de chercher longtemps les plus petits Sierpinski (k=5 +15a pour la forme Nmp et k=10+15a pour la forme Npp) et le plus petit Brier (3+3a pour les formes Nmm et Npm). Pour la forme Nmp k=7,13,34,79,. et la forme Npp k=15,.. sont peut être aussi Sierpinski ?

Il existe des Cullen (k=n dans les quatre formes).

Il existe des Sophie Germain et des chaînes de Cunningham, mais ils sont "visuellement" plus difficiles à repérer.

Nmp(1,n) ne peut être premier que si n=2a3b avec a>=1 et b>=0. En pratique il n'est premier que pour n=1,2,4,32 (n<=400000). Les diviseurs de ces nombres sont de la forme 6nc+1 !!, ce qui permet la recherche rapide des nombres composés. La ressemblance avec le comportement des nombres de Fermat (22^n+1) est "curieuse" et la primalité pour un n (de forme très restrictive 2a3b) plus grand que 400000 entraînerait probablement un record.

De même Npp(1,n) n'est premier que pour n=1,3,9 (n<=40000) !

Si l'on pose Np(k,n)=k*2n+1 et Nm(k,n)=k*2n-1 il existe de nombreuses relations et propriétés arithmétiques avec les nouveaux nombres premiers .

Des relations avec les nombres de Mersenne sont aussi évidentes : Par exemple :Nmp(2,n)=Mn2.

Mais la réciproque est fausse!!

Voici la liste des nombres premiers de 1 à 2000

Voilà :P

[Anwamanë]

Bonsoir crpe,

Et alors... la marmotte, elle met le chocolat dans le papier d'alu...

:P

[domdom6]

Bonsoir crpe,

Et alors... la marmotte, elle met le chocolat dans le papier d'alu...

:P

c'est vrai que ton explication crpe est un peu longue, je suis d'accord avec affable76 et je pense qu'il y a certaine chose qu'on n'a pas besoin de savoir pour le concours. Ce serait plus pour le CAPES math.

Modifié 26 décembre 2005 par domdom6

[mistral54]

Après des explications digne d'une préparation de CAPES, revenons au concours du CRPE plus modeste ....

Nombres premiers

Un nombre entier est premier s’il admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et le nombre lui – même

Décomposition en facteurs premiers :

Méthode 1 : 36 = 4 * 9 = 2*2*3*3 = 2² * 3²

Méthode 2 :

252 divisé par 2 donne

126 divisé par 2 donne

63 divisé par 3 donne

21 divisé par 3 donne

7 divisé par 7 donne

1

L’ensemble des diviseurs de 252 = {1, 2, 4, 6, 14, 9, 21, 12, 18, 28, 36, 63, 42, 84, 126, 252}

Propriétés des nombres premiers

Pour savoir si un nombre n est premier, il suffit d’essayer de le diviser par tous les nombres premiers inférieurs à racine de n. Si n n’est pas divisible par aucun de ces nombres, c’est qu’il est premier.

Modifié 27 décembre 2005 par mistral54

[Penelope]

Merci CRPE pour la liste des nombres premiers.

Juste une question, les nombres deuxièmes (ou troisièmes) sont aussi divisibles par 1 je suppose.

[domdom6]

Tout nombre est divisible par 1 et par lui-même.