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Ex 7 page 64 cned


Milla

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Bonjour,

je me lance.

J'ai étudié pour l'instant la géométrie qui me pose quelques difficultés mais avec les corrigés, j'arrive à me débrouiller.

En "algèbre", j'ai par contre beaucoup de mal alors je voulais savoir si quelqu'un pouvait m'aider :

"Il faut prouver que le nombre rac. de 2 (bon, je ne sais même pas comment faire ce symbole !) n'est pas rationnel en utilisant un raisonnement par l'absurde :

- on suppose que ce nombre est rationnel, il peut donc s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible p/q (p et q nombres entiers et q non nul).

- on sait que rac. de 2 ² = 2 donc (p/q)² = 2 c'est à dire p²/q² = 2 (pour l'instant tout va bien ;) )

- Il faut donc étudier l'existence de p et de q tels que p² = 2q²

a : Prouver que si p et q existent, ils ne peuvent pas tous les deux être pairs .

Réponse : on suppose que = 2q² (q non nul) avec p et q entiers et p/q irréductible.

Si p est pair, il existe un entier p² tels que p = 2p'

Si q est pair, il existe un entier q² tels que q = 2q' (là je crois aussi que tout va bien)

p/q = 2p'/2q' donc p/q n'est pas une fraction irréductible (contradiction avec l'hypothèse de départ). Donc p et q ne peuvent être tous les deux pairs (et là je suis complètement perdue :blink: )

Merci beaucoup à celles et ceux qui pourront m'éclairer car je ne peux même pas faire la suite de l'exercice.

Mais j'ai décidé de m'accrocher cette année et de devenir "bonne" en maths ! ;)

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p/q = 2p'/2q' donc p/q n'est pas une fraction irréductible (contradiction avec l'hypothèse de départ). Donc p et q ne peuvent être tous les deux pairs (et là je suis complètement perdue blink.gif )

On a supposé que rac(2) était un nombre rationnel. On a noté p/q la fraction IRRÉDUCTIBLE représentant ce rationnel (c'est-à-dire qu'on a supposé que p/q était la fraction la plus simplifiée représentant ce rationnel).

Si p et q étaient tous les deux pairs, la fraction p/q ne serait pas irréductible (car on pourrait simplifier cette fraction en divisant numérateur et dénominateur par 2), ce qui serait en contradiction avec l'hypothèse faite donc p et q ne peuvent pas être tous les deux pairs.

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p/q = 2p'/2q' donc p/q n'est pas une fraction irréductible (contradiction avec l'hypothèse de départ).

p/q n'est pas irréductible car il existe un facteur commun dans la décomposition en produits de nombres premiers : 2.

Donc p et q ne peuvent être tous les deux pairs (et là je suis complètement perdue :blink: )

Si p et q sont pairs, la fraction n'est pas irréductible, donc l'hypothèse de départ n'est pas vérifiée.

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