Petit problème de volume

[K-ro13]

Bonjour!

J'ai des petits problèmes avec certains calculs de volume... Par exemple:

On a un cône de révolution ("cône droit") tel que le rayon r = 2.5cm, la génératrice [AB] mesure 12 cm (A est le sommet du cône) et AB'=9cm et h la hauteur du cône.

1°) Donner un encadrement de h en cm au dixième près

2°) en prenant 3.14<pi<3.15, déduire le meilleur encadrement du volume du cône avec des entiers

3°) En disposant le cône pointe en bas et hauteur verticale, on le remplit avec un liquide jusqu'au point B'. Quel est ce volume de liquide en centilitres et en centimètres cubes?

Autre problème qui m'énerve:

Une statuette a une masse de 340g. On dispose d'un vase, dont la masse à vide est 500g. On remplit à ras bord le vase d'eau, l'ensemble pèse 2300g. Si on immerge la statue dans le vase plein, on trouve après débordement que le vase pèse 2600g.

1) Calculer le volume de la statue

2) Calculer la masse volumique de la statue en g/cm3, puis en kg/l

3) On vide le vase de l'eau et de la statue puis on le remplit à ras bord d'un nouveau liquide. L'ensemble pèse 1940g. Quelle est la masse volumique de ce liquide?

Voilà! Si vous trouvez les solutions, je vous en serai très reconnaissante!

[archimandine]

Salut,

Je vais essayer de te donner les grandes lignes pour résoudre le premier problème. (Pourrais-tu préciser ce que tu n'arrives pas à faire ?)

1°) Considérer le triangle rectangle formé par la génératrice, la hauteur et le rayon. Avec Pythagore, bien sûr.

2°) appliquer la formule (que je ne retrouve plus...)

3°) Là, on te demande de formuler une équation : x = AB' est la hauteur, à remplacer dans la formule.

J'espère que cela te mettra sur la voie.

[K-ro13]

Salut,

Je vais essayer de te donner les grandes lignes pour résoudre le premier problème. (Pourrais-tu préciser ce que tu n'arrives pas à faire ?)

1°) Considérer le triangle rectangle formé par la génératrice, la hauteur et le rayon. Avec Pythagore, bien sûr.

2°) appliquer la formule (que je ne retrouve plus...)

Pour le 1 et le 2, j'y arrive (Volume du cône = 1/3 * Aire de la base * h)

J'ai plus de problème pour le 3...

3°) Là, on te demande de formuler une équation : x = AB' est la hauteur, à remplacer dans la formule.

En fait, AB' est la génératrice.

Je nomme V le volume du cône trouvé en 2) et V' le volume cherché ici.

J'ai fait ainsi: AB'/AB = 3/4

DoncV' = (3/4)^3 *V ??? est-ce la bonne formule?

[archimandine]

Je me suis emmêlée dans les lettres. Si je récapitule : A est le sommet du cône, B est un point du cercle de base et B' est un point de la génératrice, c'est ça ? Et j'appelle H le centre du centre

Donc on doit calculer la hauteur (disons AH') correspondant à AB' :

En utilisant Thalès, ça nous donne : AB' / AB = AH' / AH = H'B' / HB

A partir de là, on calcule AH' puis H'B' ( = le rayon du nouveau cône)

On peut alors calculer le volume de ce nouveau cône.

V' = 1/3 * pi H'B' carré * AH'

Je crois que c'est ça, dis-moi si tu es d'accord et si je suis claire.

[K-ro13]

En faisant comme tu fais, je reviens au même résultat qu'en faisant directement (3/4)^3 * V. Et en gardant les formules, on retombe bien sur ce résultat:

AB'/AB = AH'/AH = H'B'/HB = 3/4

donc AH' = 3/4 * AH

et H'B' = 3/4 * HB

V' = 1/3 * pi * (H'B')² * AH'

V' = 1/3 * pi * (3/4 * HB)² * (3/4 * AH)

V' = 1/3 * pi * (3/4)² * HB² * 3/4 * AH

V' = 1/3 * pi * HB² * AH * (3/4)^3

donc on a bien V' = (3/4)^3 * V !!

PS: pas facile de taper des formules!!

[archimandine]

OK je viens de comprendre ton raisonnement. On tombe sur la même réponse.

[K-ro13]

Donc on peut considérer que cette formule est généralisable?

Par exemple, dans un cône de génératrice [AB], de hauteur h et de rayon r avec B' sur [AB]:

Le volume du cône de génératrice [AB] est: V = 1/3 * pi * h * r²

Le volume du cône de génératrice [AB'] est: V' = (AB'/AB)^3 * V

Est-ce que quelqu'un peut confirmer??

[sewerinne]

Bonsoir,

Pour la première question je trouve après avoir utilisée Pythagore

11,7 < h < 11,8 ( en cm)

volume du cône = 1/3 * B * h = 1/3 * Pi * r² * h

or 3,14 < pi < 3,15

J'ai calculé les différents volumes :

V1 = 1/3 * 3.14 * 2.25² * 11.7 = 60.2779

V2 = 1/3 * 3.15 * 2.25² * 11.8 = 62.7245

Je choisis l'encadrement 60 < V < 63

Je suis d'accord avec vos formules

V' = (3/4) ^ 4 * V

(3/4) ^3 * 60 < V' < (3/4) ^3 * 63

25.3215 cm (cube) < V' < 26.5781 cm (cube)

soit 2.53 cl < V' < 2.66 cl

Qu'avez vous trouvé ?

[Dominique]

pour la première question je trouve après avoir utilisée pythagore

11,7 < h < 11,8 ( en cm)

oui

volume du cône = 1/3 * B * h = 1/3 * Pi * r² * h

or 3,14 < pi < 3,15

j'ai calculé les différents volumes :

V1 = 1/3 * 3.14 * 2.25² * 11.7 = 60.2779

V2 = 1/3 * 3.15 * 2.25² * 11.8 = 62.7245

je choisis l'encadrement 60 < V < 63

Le rayon du cône vaut 2,5 cm et pas 2,25 cm (mais, même avec 2,25 je ne trouve pas la même chose que toi car, sauf erreur de ma part, 1/3 * 3.14 * 2.25² * 11.7 vaut environ 61,995)

je suis d'accord avec vos formules

V' = (3/4) ^ 4 * V

Tu as écrit "puissance 4" au lieu de "puissance 3"

Remarque : au 3°) on ne demande pas un encadrement.

[Dominique]

Donc on peut considérer que cette formule est généralisable?

Par exemple, dans un cône de génératrice [AB], de hauteur h et de rayon r avec B' sur [AB]:

Le volume du cône de génératrice [AB] est: V = 1/3 * pi * h * r²

Le volume du cône de génératrice [AB'] est: V' = (AB'/AB)^3 * V

Est-ce que quelqu'un peut confirmer??

En appliquant le théorème de Thalès, on peut démonter que le "petit cône" a une hauteur qui vaut les 3/4 de la hauteur du "grand cône" et un rayon qui vaut également les 3/4 du rayon du "grand cône".

Donc V' = 1/3 × pi × (3h/4) × (3r/4)² = (3/4)³ × 1/3 × pi × h × r² = (3/4)³ × V

Donc, je confirme ...

Remarque : de manière générale si un solide n° 2 est "une réduction" d'un solide n° 1 avec des dimensions qui sont toutes égales aux 3/4 des dimensions du solide n° 1, V2 = (3/4)³ × V1 (avec V1 volume du solide n°1 et V2 volume du solide n° 2).

[sewerinne]

Merci Dominque,

Des erreurs d'énoncé qui pourraient me coûter cher le jour J

Je me lance pour le second exercice :

vase vide 500 g et vase remplit d'eau 2300 g

la différence de masse après l'ajout d'eau est de 1800 g = 1,8 kg

or la masse volumique de l'eau est de 1kg par litre

donc on a ajouté 1,8 litre d'eau.

Ainsi le volume du vase est de 1,8 dm3

Quand on plonge la statue dans le vase, l'eau déborde;

l'ensemble pèse 2600 g = vase+ statue + eau restante

= 500 + 340 + 1760

donc la statue a un volume correspondant a l'eau qui a débordé soit 1,8 - 1.76 = 0,04 dm3 = 40 cm3

masse volumique de la statue = masse / volume = 340 / 40 = 8,5 g/cm3

masse volumique du nouveau liquide;

le volume du nouveau liquide est égal à celui de l'eau enlevée soit 1,76 dm3

sa masse est égale à = 1940 - 500 - 340 = 1100 g

donc sa masse volumique = masse / volume = 1100 / 1.76 = 625 g/ dm3

[Dominique]

vase vide 500 g et vase remplit d'eau 2300 g

la différence de masse après l'ajout d'eau est de 1800 g = 1,8 kg

or la masse volumique de l'eau est de 1kg par litre

donc on a ajouté 1,8 litre d'eau

Ainsi le volume du vase est de 1,8 dm3

quand on plonge la statue dans le vase, l'eau déborde;

l'ensemble pèse 2600 g = vase+ statue + eau restante

= 500 + 340 + 1760

donc la statue a un volume correspondant a l'eau qui a débordé soit 1,8 - 1.76 = 0,04 dm3 = 40 cm3

masse volumique de la statue = masse / volume = 340 / 40 = 8,5 g/cm3

Oui.

Remarque : l'énoncé demandait de donner aussi la masse volumique de la statue en kg/l

8,5 g / cm³ = 8 500g /dm³ = 8,5 kg/l

le volume du nouveau liquide est égal à celui de l'eau enlevée soit 1,76 dm3

Sauf erreur, le volume du nouveau liquide est égal à la contenance du vase soit 1,8 dm³