sebous Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 Voilà un petit problème sur lequel je planche depuis une 1/2 heure sans trouver de réponse: 3 Boeufs ont mangé en 2 semaines l'herbe contenue dans 2 arpents de pré plus l'herbe qui a poussé pendant ces 2 semaines. 2 boeufs ont mangé en 4 semaines l'herbe contenue dans 2 arpents de prés plus l'herbe qui a poussé pendant ces 4 semaines. Combien faudrait-il de boeufs pour manger en six semaines l'herbe contenue dans 6 arpents de pré plus l'herbe qui a poussé pendant ces 6 semaines. Justifier la réponse. On suppose qu'un arpent contient initialement une quantité d'herbe déterminée, que l'herbe croit uniformémént et que les boeufs mangent également. Voilà j'attends de l'aide.
ced30330 Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 Bizarre ce pb. Je dirais 3 boeufs (mais sans utiliser la seconde phrase de l'énoncé <_< ) 3B 2S (2A+2) xB 6S (6A+6) 3B 2S 2A+2 = 9B 2S 6A+6 = 3B 6S 6A+6
cath69110 Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 Voila comment je procède ... dites moi ce que vous en pensez: 1ère équation : 3B 2S 2A d’ou 1,5B 2S 2A d’où 1,5B 1S 1A 2ème équation : 2B 4S 2A d’ou 1B 2S 1A On a donc 1A mange par 1,5B en 1S ou par 1B en 2S D’où 0,5B mange 1A en 1S Donc 6A mangés en 6s par 3B
sebous Posté(e) 9 mai 2006 Auteur Posté(e) 9 mai 2006 Donc 6A mangés en 6s par 3B Tu ne tiens pas compte que les boeufs mangent l'herbe qui pousse pendant les semaines. Je pese avoir trouver la solution je vous la poste dans quelques instants!
sebous Posté(e) 9 mai 2006 Auteur Posté(e) 9 mai 2006 Voilà comment j'ai fait: Soit H l'herbe présente sur 1 arpent. P l'herbe qui pousse en une semaine sur un arpent et B l'herbe mangée par un boeuf en une semaine. On a: 3B x 2= 2H + 2x2xP et 2B x 4= 2H + 2x4xP D'où 6B=2H+4P et 8B=2H+8P En simplifiant on obtient: 3B=H+2P et 4B=H+4P en multipliant l'équation 1 par 4 et l'équation 2 par 3 on obtient: 12B=4H+8P et 12B=3H+12P D'où 4H+8P=3H+12P donc H=4P On en déduit que l'herbe présente sur un arpent est égale à 4 fois l'herbe qui pousse en une semaine. On sait que 3B= H+2P (cf plus haut) et H=4P donc B=2P En une semaine un boeuf mange 2 fois l'herbe qui pousse sur un arpent. Soit N le nombre de boeufs cherché. On a 6NxB=6H+6x6xP NxB=H+6P or H=4P donc NxB=10P On sait aussi que B=2P donc 2xPxN= 10P donc N=5 Il faut 5 boeufs pour manger en six semaines l'herbe contenue dans 6 arpents de pré plus l'herbe qui a poussé pendant ces 6 semaines. Pas facile mais j'y suis arrivé. Voilà comment j'ai fait: Soit H l'herbe présente sur 1 arpent. P l'herbe qui pousse en une semaine sur un arpent et B l'herbe mangée par un boeuf en une semaine. On a: 3B x 2= 2H + 2x2xP et 2B x 4= 2H + 2x4xP D'où 6B=2H+4P et 8B=2H+8P En simplifiant on obtient: 3B=H+2P et 4B=H+4P en multipliant l'équation 1 par 4 et l'équation 2 par 3 on obtient: 12B=4H+8P et 12B=3H+12P D'où 4H+8P=3H+12P donc H=4P On en déduit que l'herbe présente sur un arpent est égale à 4 fois l'herbe qui pousse en une semaine. On sait que 3B= H+2P (cf plus haut) et H=4P donc B=2P En une semaine un boeuf mange 2 fois l'herbe qui pousse sur un arpent. Soit N le nombre de boeufs cherché. On a 6NxB=6H+6x6xP NxB=H+6P or H=4P donc NxB=10P On sait aussi que B=2P donc 2xPxN= 10P donc N=5 Il faut 5 boeufs pour manger en six semaines l'herbe contenue dans 6 arpents de pré plus l'herbe qui a poussé pendant ces 6 semaines. Pas facile mais j'y suis arrivé.
manou Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 On a 4 inconnues: Inconnue 1: la quantité d'herbe par arpent (notons là A); Inconnue 2: la quantité d'herbe qui pousse par semaine sur 1 arpent (notons là S); Inconnue 3: la quantité d'herbe que mange un boeuf par semaine (notons là B); Inconnue 4: le nombre de boeufs de la troisième phrase (notons là N). On peut donc réécrire le problème sous la forme du système arithmétique suivant: (I) 2A + 2S = 6B (1ere phrase de l'énoncé) (II) 2A + 4S = 8B (2nde phrase) (III) 6A + 6S = 6BxN (3eme phrase) ced30330 a raison, on peut résoudre le problème en constatant qu'il y a une relation de proportionalité entre la première et la troisième équation. ( (III) = 3 x (I) ) ==> 18B = 6BxN ==> 3B = NxB On peut simplifier par B puisque B est nécessairement différent de zéro. La réponse aurait été moins évidente si la question avait été : Combien faudrait-il de boeufs pour manger en dix semaines l'herbe contenue dans 5 arpents de pré plus l'herbe qui a poussé pendant ces 10 semaines ? La troisième équation serait alors remplacée par : (IV) 5A + 50S = 10BxN La combinaison des deux premières équations peut permettre de déterminer que chaque boeuf mange par semaine la quantité d'herbe qui pousse sur un arpent. (II) - (I) ==> 2S = 2B ==> S = B Et que la quantité d'herbe présente initialement par arpent permet de nourrir 2 boeufs pendant une semaine ou un boeuf pendant deux semaines: en remplaçant S par B dans l'équation (I) (I) ==> 2A + 2B = 6B ==> A = 2B Le remplacement dans (IV) permet de déduire qu'il faudrait 6 boeufs: (IV) ==> 10B + 50B = 10BxN ==> 6B = NxB En réalité la relation entre le nombre de semaines (Ns), le nombre d'arpents (Na) et le nombre de boeufs (Nb) est : 2Na + NaNs = NsNb En effet, on a : NaA + NaNsS = NsNbB Si on remplace A et S par leur valeur en fonction de B on a : 2NaB + NaNsB = NsNbB
manou Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 Mea culpa J'ai effectivement fait des erreurs sur la restitution de mes 3 équations de départ: (I) 2A + (2x2)S = (2x3)B et non pas 2A + 2S = 6B (1ere phrase de l'énoncé) (II) 2A + (2x4)S = (4x2)B et non 2A + 4S = 8B (2nde phrase) (III) 6A + (6x6)S = 6BxN et non pas 6A + 6S = 6BxN (3eme phrase) Ce qui change tout: (II) - (I) ==> 4S = 2B == > 2S = B (I) - 2B ==> 2A = 4B ==> A = 2B (III) ==> 12B + 18B = 6BxN ==> N = 5
manou Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 Pour la relation entre le nombre de semaines (Ns), le nombre d'arpents (Na) et le nombre de boeufs (Nb) : On a : NaA + NaNsS = NsNbB Si on remplace A par 2B et S par B/2, on a : 2NaB + NaNsB/2 = NsNbB D'où, 2Na + NaNs/2 = NsNb ou encore Nb = (2Na + NaNs/2)/Ns On retrouve bien : Nb = (2x6 + 6X6/2)/6 = (12+18)/6 = 30/6 = 5
crpe Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 Vraiment pas dur --> Vous vous cassez la tête pour rien. Comme il y a proportionnalité (On suppose qu'un arpent contient initialement une quantité d'herbe déterminée, que l'herbe croit uniformémént et que les boeufs mangent également.) on peut faire un tableau de proportionnalité entre les semaines et le nombre de boeuf. On utilise la linéarité de la proportionnalité : f(x+y) = f(x) + f(y) f(6) = f(4) + f(2) f(6) = 2 + 3 = 5 Donc 5 boeufs Et voilà!!! Héhé
sebous Posté(e) 9 mai 2006 Auteur Posté(e) 9 mai 2006 Vraiment pas dur --> Vous vous cassez la tête pour rien. Ta réponse est correcte mais ta justification serait inexacte car tu consideres que les boeufs mangent l'herbe de 2 arpents et non pas de 6 comme dans le problème. je pense qu'une telle réponse ne serait pas acceptée le jour du concours!
manou Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 crpe, tu peux expliciter ton point de vue, je ne te suis pas...
manou Posté(e) 9 mai 2006 Posté(e) 9 mai 2006 Si on considère les hypothèses de proportionalité entre le nombre de boeufs et le nombre de semaines, on pourrait on déduire que le nombre d'arpents ne comptent pas... 5 boeufs pourraient se nourrir pendant 6 semaines aussi bien sur 2 arpents que sur 6 ? Il n'y a pas proportionalité entre ces deux nombres. La relation qui lie le nombre de semaines (Ns), le nombre d'arpents (Na) et le nombre de boeufs (Nb) est : Nb = (2Na + NaNs/2)/Ns Il n'y a pas de proportionalité, ni de linéarité ici !!!
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