qui peut résoudre...

[Phanou222]

Et si on en a un qui met 10 h, un qui met 12 h, moi je mettrais 14 h car (10 + 12 + 14)/3 = 12

Non ???

Non ...

Il faut se méfier de la notion de moyenne. Ce n'est pas toujours aussi simple que l'on croit. On ne peut pas, ici, faire une moyenne arithmétique des durées pour trouver une durée moyenne (la moyenne arithmétique correspond à la notion "habituelle" de moyenne ).

Il s'agit, si on creuse un peu, d'un autre type de moyenne, à savoir la moyenne harmonique (cette notion n'est pas au programme du CRPE).

Et, en fait, si on veut faire une moyenne arithmétique, il faut prendre les inverses des durées : (1/10 + 1/12 + 1/15)/3 = 1/12.

Est-ce que tu peux m'expliquer pourquoi ?

Je trouvais mon raisonnement logique, donc j'aimerais comprendre pourquoi ça ne marche pas...

[mumu043]

:D

P. bêche mon jardin en 10 heures et M. le bêche en 12 heures.

A nous trois, nous le bêchons en 4 heures.

Combien de temps aurai-je mis si je l'avais bêché seule ?

Merci,

MCD

Moi j'aurais dit 14 h...

Si à 3 on met 4 h, alors seul on mettrait en moyenne 3 X 4 = 12 h.

Et si on en a un qui met 10 h, un qui met 12 h, moi je mettrais 14 h car (10 + 12 + 14)/3 = 12

Non ???

j'aurais fait comme ça aussi

[Dominique]

Est-ce que tu peux m'expliquer pourquoi ?

Je trouvais mon raisonnement logique, donc j'aimerais comprendre pourquoi ça ne marche pas...

Puisque c'est toi qui utilises la moyenne arithmétique des durées, je te dirais bien que c'est à toi d'écrire une démonstration expliquant pourquoi, d'après toi, on peut l'utiliser et ensuite que je pourrais essayer de voir ce qui cloche dans cette démonstration ... sinon je ne sais pas trop quoi te dire ... .

Pour ma part, je ne peux qu'essayer, de mon côté, d'expliquer le bien-fondé de la formule que j'ai donnée :

Remarque préalable importante : si des personnes bêchent ensemble, ce qui s'ajoute ce sont les "puissances de bêchage" (en ha/h) car si la première personne bêche x hectares en une heure, la deuxième y hectares en une heure et la troisième z hectares en une heure il me semble "évident" de dire qu'ensemble en une heure ces personnes bêcheront x + y + z hectares.

Soit donc une première personne qui bêche un jardin de S hectares en t₁ heures.

Soit une deuxième personne qui bêche un jardin de S hectares en t₂ heures.

Soit une troisième personne qui bêche un jardin de S hectares en t₃ heures.

Soit t heures le temps mis par ces trois personnes pour bêcher ensemble le jardin de S hectares.

La puissance de bêchage (en ha/h) des trois personnes bêchant ensemble est égale à (S/t₁ + S/t₂ + S/t₃) et le temps t en heures qu'elle mettent à bêcher le jardin est tel que S/t = S/t₁ + S/t₂ + S/t₃ (remarque : donc 1/t = 1/t₁ + 1/t₂ + 1/t₃).

Si on veut parler d'un "bêcheur moyen", qui mettrait un temps égal à t_moy heures pourbêcher le jardin tout seul, il faut envisager une personne qui aurait une "puissance de bêchage" telle que trois personnes ayant la même "puissance de bêchage" qu'elle et bêchant ensemble le jardin mettraient le même temps pour bêcher le jardin que les trois personnes dont il est question au début.

On a donc 3 x (S/t_moy) = S/t₁ + S/t₂ + S/t₃ soit 3/t_{moy =} 1/t₁ + 1/t₂ + 1/t₃ soit 1/t_moy = (1/t₁ + 1/t₂ + 1/t₃)/3

Je n'arrive pas à démontrer que la durée moyenne est la moyenne arithmétiques des durées mais bien à démontrer que l'inverse de la durée moyenne est égale à la moyenne arithmétique des inverses des durées (remarque : par définition, on dit dans ce cas que la durée moyenne est la moyenne harmonique des durées).

Je ne sais pas trop comment expliquer mieux qu'on ne peut pas faire une moyenne arithmétique (c'est-à-dire une moyenne habituelle) des durées, comme tu le crois à tort. Peut-être quelqu'un d'autre y arrivera-t-il mieux que moi.

Face à ce type d'énoncé, je sais que si on veut parler de moyenne arithmétique il faut raisonner en terme de "puissances de bêchages" (le "bêcheur moyen" est le bêcheur qui a une "puissance de bêchage" égale à la moyenne des "puissances de bêchage") et non en terme de durées. Mais, il est vrai que l'expliquer est plus difficile ...

[Dominique]

Autre exemple "du même genre" : si on parcourt 100 km à 60 km/h puis 100 km à 80 km/h alors la vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours n'est pas la moyenne arithmétique des vitesses 60 km/h et 80 km/h et ne vaut donc pas 70 km/h.

En effet :

durée du parcours : 100/60 + 100/80 (en h)

distance totale parcourue : 200 (en km)

vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours en km/h : 200 / (100/60 + 100/80) soit 2/(1/60 + 1/80) soit 480/7 soit environ 68,6 (en km/h)

Remarque :

- dans cette situation, l'inverse de la vitesse moyenne est égale à la moyenne arithmétique des inverses des vitesses mais la vitesse moyenne n'est pas égale à la moyenne arithmétique des vitesses

- dans une autre situation (on roule pendant une heure à 60 km/h puis pendant une heure à 80 km/h) la vitesse moyenne serait la moyenne arithmétique des vitesses.

[°Vanille°]

Oui, avec les vitesses, on se rend mieux compte comme on peut se faire avoir à faire des moyennes, alors que plusieurs variables interviennent.

[Phanou222]

Est-ce que tu peux m'expliquer pourquoi ?

Je trouvais mon raisonnement logique, donc j'aimerais comprendre pourquoi ça ne marche pas...

Puisque c'est toi qui utilises la moyenne arithmétique des durées, je te dirais bien que c'est à toi d'écrire une démonstration expliquant pourquoi, d'après toi, on peut l'utiliser et ensuite que je pourrais essayer de voir ce qui cloche dans cette démonstration ... sinon je ne sais pas trop quoi te dire ... .

Pour ma part, je ne peux qu'essayer, de mon côté, d'expliquer le bien-fondé de la formule que j'ai donnée :

Remarque préalable importante : si des personnes bêchent ensemble, ce qui s'ajoute ce sont les "puissances de bêchage" (en ha/h) car si la première personne bêche x hectares en une heure, la deuxième y hectares en une heure et la troisième z hectares en une heure il me semble "évident" de dire qu'ensemble en une heure ces personnes bêcheront x + y + z hectares.

Soit donc une première personne qui bêche un jardin de S hectares en t₁ heures.

Soit une deuxième personne qui bêche un jardin de S hectares en t₂ heures.

Soit une troisième personne qui bêche un jardin de S hectares en t₃ heures.

Soit t heures le temps mis par ces trois personnes pour bêcher ensemble le jardin de S hectares.

La puissance de bêchage (en ha/h) des trois personnes bêchant ensemble est égale à (S/t₁ + S/t₂ + S/t₃) et le temps t en heures qu'elle mettent à bêcher le jardin est tel que S/t = S/t₁ + S/t₂ + S/t₃ (remarque : donc 1/t = 1/t₁ + 1/t₂ + 1/t₃).

Si on veut parler d'un "bêcheur moyen", qui mettrait un temps égal à t_moy heures pourbêcher le jardin tout seul, il faut envisager une personne qui aurait une "puissance de bêchage" telle que trois personnes ayant la même "puissance de bêchage" qu'elle et bêchant ensemble le jardin mettraient le même temps pour bêcher le jardin que les trois personnes dont il est question au début.

On a donc 3 x (S/t_moy) = S/t₁ + S/t₂ + S/t₃ soit 3/t_{moy =} 1/t₁ + 1/t₂ + 1/t₃ soit 1/t_moy = (1/t₁ + 1/t₂ + 1/t₃)/3

Je n'arrive pas à démontrer que la durée moyenne est la moyenne arithmétiques des durées mais bien à démontrer que l'inverse de la durée moyenne est égale à la moyenne arithmétique des inverses des durées (remarque : par définition, on dit dans ce cas que la durée moyenne est la moyenne harmonique des durées).

Je ne sais pas trop comment expliquer mieux qu'on ne peut pas faire une moyenne arithmétique (c'est-à-dire une moyenne habituelle) des durées, comme tu le crois à tort. Peut-être quelqu'un d'autre y arrivera-t-il mieux que moi.

Face à ce type d'énoncé, je sais que si on veut parler de moyenne arithmétique il faut raisonner en terme de "puissances de bêchages" (le "bêcheur moyen" est le bêcheur qui a une "puissance de bêchage" égale à la moyenne des "puissances de bêchage") et non en terme de durées. Mais, il est vrai que l'expliquer est plus difficile ...

MERCI de m'avoir éclairée ainsi, je suis convaincue par ta démonstration...

Si jamais maintenant quelqu'un peut m'expliquer pourquoi mon raisonnement, pourtant fort logique, ne marche pas, je suis preneuse !

[°Vanille°]

Je ne sais pas si ce sera plus clair, mais je vais partir à l'envers, partir de ce que tu penses juste ''Je mets 14h pour faire mon jardin'' et te montrer qu'il y aura une incohérence.

Si je mets 14 h à faire mon jardin, en 1h, je fais 1/14ème de mon jardin.

Si P met 10 h à faire mon jardin, en 1h, il fait 1/10ème de mon jardin.

Si M met 12 h à faire mon jardin, en 1h, il fait 1/12ème de mon jardin.

Donc en 1h, donc effectuerions à tous les 3 : (1/14ème + 1/10ème + 1/12ème) de mon jardin

environ = 0.254 x mon jardin (donc c'est supérieur à 1/4 de mon jardin)

Ce qui voufrait dire qu'en 4 h, nous effectuerions à tous les 3 environ 1.016 fois mon jardin. (au lieu de 1 fois, comme prévu)

On ne tombe pas pile poil sur 1 (ce qu'on devrait avoir si nos hyptohèses de départ étaient justes)

Ca veut donc bien dire qu'on a travaillé ''trop vite''. Donc, ''je'', au lieu de 14h, c'est un peu plus que ''je'' vais mettre.

Ca ne t'aide peut-être pas pour la compréhension du 15h, mais tu vois que ça ne peut pas marcher le raisonnement avec 14h, même si c'est le raisonnement qui paraît évident au début.

Le contre-exemple donné par Dominique avec les vitesses est un très bon moyen de voir que même en maths, des choses qu'on peut penser logiques ne le sont pas tant que ça. Et c'est surtout pas la vérification qu'on le voit bien.

[Phanou222]

Je ne sais pas si ce sera plus clair, mais je vais partir à l'envers, partir de ce que tu penses juste ''Je mets 14h pour faire mon jardin'' et te montrer qu'il y aura une incohérence.

Si je mets 14 h à faire mon jardin, en 1h, je fais 1/14ème de mon jardin.

Si P met 10 h à faire mon jardin, en 1h, il fait 1/10ème de mon jardin.

Si M met 12 h à faire mon jardin, en 1h, il fait 1/12ème de mon jardin.

Donc en 1h, donc effectuerions à tous les 3 : (1/14ème + 1/10ème + 1/12ème) de mon jardin

environ = 0.254 x mon jardin (donc c'est supérieur à 1/4 de mon jardin)

Ce qui voufrait dire qu'en 4 h, nous effectuerions à tous les 3 environ 1.016 fois mon jardin. (au lieu de 1 fois, comme prévu)

On ne tombe pas pile poil sur 1 (ce qu'on devrait avoir si nos hyptohèses de départ étaient justes)

Ca veut donc bien dire qu'on a travaillé ''trop vite''. Donc, ''je'', au lieu de 14h, c'est un peu plus que ''je'' vais mettre.

Ca ne t'aide peut-être pas pour la compréhension du 15h, mais tu vois que ça ne peut pas marcher le raisonnement avec 14h, même si c'est le raisonnement qui paraît évident au début.

Le contre-exemple donné par Dominique avec les vitesses est un très bon moyen de voir que même en maths, des choses qu'on peut penser logiques ne le sont pas tant que ça. Et c'est surtout pas la vérification qu'on le voit bien.

Ok, je m'incline... Merci à tous d'avoir pris le temps de m'expliquer !

[Dominique]

Je ne sais pas si ce sera plus clair, mais je vais partir à l'envers, partir de ce que tu penses juste ''Je mets 14h pour faire mon jardin'' et te montrer qu'il y aura une incohérence .../...

Tu expliques effectivement très clairement pourquoi 14h ne peut pas être une bonne réponse.

Ca ne t'aide peut-être pas pour la compréhension du 15h .../...

Je pense qu'au contraire ça peut beaucoup aider.

Il suffit de réécrire ce que tu as écrit avec n à la place de 14 :

Si je mets n h à faire mon jardin, en 1h, je fais 1/n ème de mon jardin.

Si P met 10 h à faire mon jardin, en 1h, il fait 1/10 ème de mon jardin.

Si M met 12 h à faire mon jardin, en 1h, il fait 1/12 ème de mon jardin.

Donc en 1h, donc effectuerions à tous les 3 : (1/n ème + 1/10ème + 1/12ème) de mon jardin.

Et on veut que 1/n + 1/10 + 1/12 soit égal à 1/4.

On en déduit que 1/n = 1/4 - 1/10 - 1/12 donc que 1/n = 1/15

D'où n = 15.

[tartinette]

Et celui-là posé à ma fille en ....5ème ?!

Quelle fraction est égale à 0.126 126 126...... ?

[Dominique]

Quelle fraction est égale à 0.126 126 126...... ?

[dhaiphi]

Epatant, comme d'habitude !

Et sinon, c'est niveau 5ème ?