hauteur d'un triangle rectangle

[éli01]

C'est aussi pour ça que je demandais si c'était un exercice concours, parce que je n'avais pas l'impression de pouvoir le résoudre "simplement".

En tout cas merci Trinette pour la solution!

Aïe Aïe !!!

Je crois que Trinette a inversé le triangle : il est rectangle en A et non en B.

Avec bien AB+AC= 24,5 cm et AH=8,4

Mais je crois effectivement qu'il faut de la trigo...

Merci les filles

[Doro59]

Aïe Aïe !!!

Je crois que Trinette a inversé le triangle : il est rectangle en A et non en B.

Avec bien AB+AC= 24,5 cm et AH=8,4

Mais je crois effectivement qu'il faut de la trigo...

Merci les filles

??

Le rectangle de Trinette est bien rectangle en B.

[éli01]

Aïe Aïe !!!

Je crois que Trinette a inversé le triangle : il est rectangle en A et non en B.

Avec bien AB+AC= 24,5 cm et AH=8,4

Mais je crois effectivement qu'il faut de la trigo...

Merci les filles

??

Le rectangle de Trinette est bien rectangle en B.

Ben...justement, dans l'exo il est bien rectangle en A

[Doro59]

Attends eli01, je ne comprends plus rien là.

Je cite l'énoncé de l'exercice que tu nous a donné:

Soit un triangle ABC rectangle en B. La longueur totale AB+BC est égale à 24,5 cm et la hauteur AH issue de B est égale à 8,4cm.

Quelles sont les longueurs respectives des côtés AB, AC et BC ?

[éli01]

Attends eli01, je ne comprends plus rien là.

Je cite l'énoncé de l'exercice que tu nous a donné:

Soit un triangle ABC rectangle en B. La longueur totale AB+BC est égale à 24,5 cm et la hauteur AH issue de B est égale à 8,4cm.

Quelles sont les longueurs respectives des côtés AB, AC et BC ?

Désolée les filles, autant pour moi !

C'est bien rectangle en A...

[Sheana]

Lol......

[Doro59]

Tu devrais éditer ton sujet de départ, et y mettre l'énoncé correct, pour que plus personne ne s'embrouille.

En tout cas, la méthode de résolution doit être la même.

[éli01]

Tu devrais éditer ton sujet de départ, et y mettre l'énoncé correct, pour que plus personne ne s'embrouille.

En tout cas, la méthode de résolution doit être la même.

Bonne idée ! c'est fait !

[schwa]

mais du coup c'est AB+AC=24,5 cm ? Ou quand même AB+BC ?

[éli01]

mais du coup c'est AB+AC=24,5 cm ? Ou quand même AB+BC ?

Oui oui c'est bien AB+AC=24,5 cm

Je ne me suis jamais autant pris la tête sur un exo

[schwa]

Corrige ton énoncé alors

Mais je crois que j'ai trouvé !!

Alors je vous explique :

On a (1) AB+AC=24,5 et (2) AH=8,4.

Si on calcule l'aire de ABC, on a aire(ABC)=AB*AC/2=AH*BC/2 car (AH) est la hauteur issue de A, et l'aire d'une triangle c'est base*hauteur. Et comme c'est un triangle rectangle en A, on a (BA) hauteur issue de A et (AC) est la base.

On a AB²+AC²=BC² d'après le théorème de Pythagore (3)

Et (AB+AC)²=AB²+AC²+2*AB*AC donc AB²+AC²=(AB+AC)²-2*AB*AC=24,5²-2*AB*AC (d'après (1))

On place dans (3) on a donc 24,5²-2*AB*AC=BC²

Or, en reprenant ma formule de l'aire, on a AB*AC/2=AH*BC/2 donc AB*AC=AH*BC

D'où BC²=24,5²-2*AH*BC

càd BC²+2AH*BC-24,5²=0

<=> BC²+2*8,4*BC-24,5²=0

<=> BC²+16,8*BC-24,5²=0

On pose x=BC

<=> x²+16,8x-600,25=0

Vous voyez où je veux en venir ? Petite équation du second degré !

delta (= b²-4ac) =16,8² + 4*600,25 = 2683,24

x1(=(-b+racine(delta))/2a)=(-16,8+racine(delta))/2=(-16,8+51,8)/2=17.5

x2(=(-b-racine(delta))/2a)=(-16,8-racine(delta))/2<0 donc pas possible

Donc BC=17.5 cm

Ensuite on reprend la formule de l'aire(ABC)=AH*BC=8,4*17.5=147cm² et aire(ABC)=AB*AC

donc AB*AC=294 et AB+AC=24,5 donc AB=24,5-AC

donc 147=AB*AC=(24,5-AC)*AC=24,5*AC-AC²=147

D'où AC²-24,5*AC+147=0

équation du second degré

delta=24,5²-4*147=12,25

x1=(24,5+racine(12,25))/2=(24,5+3,5)/2=14

x2=(24,5-racine(12,25))/2=(24,5-3,5)/2=10.5

Si AC=14 alors AB=24,5-14=10,5

Si AC=10,5 alors AB=24,5-10,5=14

Donc 2 solutions :

{AB ; AC ; BC}={10,5 ; 14 ; 17,5} et {AB ; AC ; BC}={14 ; 10,5 ; 17,5}

Voilà ! Fiouf !!!

ça vous semble bien ?

C'est sans doute beaucoup plus long que par la trigo, mais j'aurais fait comme ça à choisir !

Par contre, je ne sais pas si le calcul des racines dans une équation du second degré est au programme du concours...

[éli01]

Corrige ton énoncé alors

Mais je crois que j'ai trouvé !!

Alors je vous explique :

On a (1) AB+AC=24,5 et (2) AH=8,4.

Si on calcule l'aire de ABC, on a aire(ABC)=AB*AC=AH*BC car (AH) est la hauteur issue de A, et l'aire d'une triangle c'est base*hauteur. Et comme c'est un triangle rectangle en A, on a (BA) hauteur issue de A et (AC) est la base.

On a AB²+AC²=BC² d'après le théorème de Pythagore (3)

Et (AB+AC)²=AB²+AC²+2*AB*AC donc AB²+AC²=(AB+AC)²-2*AB*AC=24,5²-2*AB*AC (d'après (1))

On place dans (3) on a donc 24,5²-2*AB*AC=BC²

Or, en reprenant ma formule de l'aire, on a AB*AC=AH*BC

D'où BC²=24,5²-2*AH*BC

càd BC²+2AH*BC-24,5²=0

<=> BC²+2*8,4*BC-24,5²=0

<=> BC²+16,8*BC-24,5²=0

On pose x=BC

<=> x²+16,8x-600,25=0

Vous voyez où je veux en venir ? Petite équation du second degré !

delta (= b²-4ac) =16,8² + 4*600,25 = 2683,24

x1(=(-b+racine(delta))/2a)=(-16,8+racine(delta))/2=(-16,8+51,8)/2=17.5

x2(=(-b-racine(delta))/2a)=(-16,8-racine(delta))/2<0 donc pas possible

Donc BC=17.5 cm

Ensuite on reprend la formule de l'aire(ABC)=AH*BC=8,4*17.5=147cm² et aire(ABC)=AB*AC

donc AB*AC=294 et AB+AC=24,5 donc AB=24,5-AC

donc 147=AB*AC=(24,5-AC)*AC=24,5*AC-AC²=147

D'où AC²-24,5*AC+147=0

équation du second degré

delta=24,5²-4*147=12,25

x1=(24,5+racine(12,25))/2=(24,5+3,5)/2=14

x2=(24,5-racine(12,25))/2=(24,5-3,5)/2=10.5

Si AC=14 alors AB=24,5-14=10,5

Si AC=10,5 alors AB=24,5-10,5=14

Donc 2 solutions :

{AB ; AC ; BC}={10,5 ; 14 ; 17,5} et {AB ; AC ; BC}={14 ; 10,5 ; 17,5}

Voilà ! Fiouf !!!

ça vous semble bien ?

C'est sans doute beaucoup plus long que par la trigo, mais j'aurais fait comme ça à choisir !

Par contre, je ne sais pas si le calcul des racines dans une équation du second degré est au programme du concours...

Bravo et merci beaucoup Schwa