Archives d'un retraité : problèmes, cours, formation...

[MichelDelord]

Bonjour

Je viens de voir les deux réponses de oldmaths et ekole ( mais je n'ai pas eu le temps de lire le le texte en lien de OldMaths ). Je regarde ce soir ou demain matin.

J'avais dit précédemment :

II) A propos de « Pour multiplier par 10, on écrit un zéro à droite du nombre »A paraitre. Trois parties

- 1) Discussion à propos de l'influence de la règle " Pour multiplier par 10, on écrit un zéro à droite du nombre" sur la faute : 2,5 × 10 = 2,50

- 2) Une règle sur la multiplication par 10 des nombres entiers "qui marche aussi" pour les décimaux

- 3) On "peut" enseigner des "choses fausses"

Voilà le 1) pour ne pas perdre de temps.

II) A propos de « Pour multiplier par 10, on écrit un zéro à droite du nombre »

Lorsque Pascal Dupré explique «

Après tout, les enfants utilisent bien d'autres mots à double sens sans que cela prête pour eux à tant de confusions

. », il a tout à fait raison en général - puisque personne ne confond ce que veut dire changer d’échelle pour grimper sur le toit et changer d’échelle sur une carte -, mais en ce cas précis, l’argument est aussi faux que pernicieux. En effet, il transporte et transforme à son insu une erreur sur le contenu disciplinaire, ici mathématique - il y a deux sens au mot unité - en difficulté pédagogique / didactique. Il faut absolument se méfier de ce type de « transposition des difficultés » …

MD, Le mot unité a-t-il deux sens ?, 25/09/2012.

Chap. Difficultés disciplinaires et difficultés pédagogiques, page 7

http://michel.delord...fs-unites01.pdf

Les réunions tenues par les formateurs et inspecteurs du primaire et du secondaire sont revenue mille fois sur le très fameux : Si un élève a appris pour les nombres entiers la règle "Pour multiplier par 10, on ajoute un zéro à droite du nombre", il le fait aussi pour les décimaux et il écrit donc 2,5 × 10 = 2,50.

Et dans l’appareil pédagogique il y a l’idée suivante, à chaque fois exprimée par tous les formateurs et inspecteurs que j’ai rencontré et qui abordaient la question : la cause de cette erreur est une question de formulation et viendrait du fait que c’est la formulation initiale « Pour multiplier par 10, on ajoute un zéro à droite du nombre » ou même votre formulation « Pour multiplier un nombre entier par 10, on écrit un zéro à la droite de ce nombre » qui est fautive.

Et là, je dis NON. Non pas pour le fait que ce type d’erreur n’existerait pas car il existe, mais pour l’origine donnée à cette erreur.

Donc réponse en trois points :

1) Parmi les élèves, et il y en a effectivement qui font cette faute, j’en distingue deux types:

- Un premier type est celui à qui il suffit de dire « Tu es sûr ? » ou quelque chose d’approchant et qui rectifie de lui-même. En général, l’élève dit des choses du type « Ah oui, c’est pas possible parce que 2,5 et 2,50, c’est la même chose ». Ces élèves ont effectivement compris et il s’agit donc plus d’inattention que d’autre chose. On ne leur a d’ailleurs peut-être pas obligatoirement enseigné explicitement la règle en question[1], mais pendant toute la période où ils n’ont calculé que sur des entiers[2], ils ont acquis par observation l’automatisme formel qui consiste à « ajouter un zéro à droite » pour multiplier par 10. Et même s’ils ont compris que ajouter un zéro à droite d’un nombre décimal ne change pas sa valeur, ils continuent à le faire. Mais comme ils ont compris « ce qu’est un décimal » au moins sous la forme « 2,5 = 2,50 » , le simple fait de leur rappeler la difficulté fait qu’ils sont capables par eux-mêmes de rectifier le tir. Et plus ils auront multiplié de nombre décimaux par 10, plus ils abandonneront l’ancien automatisme pour en acquérir un nouveau « Pour multiplier un décimal par 10, je déplace la virgule d’un rang vers la droite », qui a l’avantage de marcher aussi pour les entiers à condition de considérer - et donc d’enseigner - qu’un entier est un décimal dont la partie décimale vaut 0, conséquence du fait que les « zéros à droite » d’un nombre décimal sont, comme l’on dit, « non-significatifs », c'est-à-dire qu’on peut les écrire ou ne pas les écrire ( comme les zéros à gauche de la partie entière), ça ne change pas la valeur du nombre. Mais si on n'enseigne pas ça, on n'enseigne pas ce qu'est un décimal et donc , quels que soient les efforts que l'on fait pour donner des règles, elles seront incomprises puisqu'elles s'appliqueront à des objets dont l'élève ne comprend pas la nature.

- Un deuxième type d’élève est celui qui ne comprend pas pourquoi 10 fois 2,5 n’est pas égal à 2,50 car il ne comprend pas que 2,5 est le même nombre que 2,50[3] qui ne peut donc pas valoir dix fois 2,5. Mais en fait cela signifie que ce type d’élève n’a pas compris ce qu’est un nombre décimal.

Donc, dans le deuxième cas, celui qui est grave, la faute ne vient pas du tout de la mauvaise formulation de la règle de multiplication d’un entier par 10 que serait « Pour multiplier un nombre entier par 10, on écrit un zéro à droite du nombre » mais de la non compréhension de ce qu’est un nombre décimal. Dans le premier cas, la faute vient de la difficulté qui est réelle - et que personne ne pourra supprimer par des astuces pédagogiques car c’est une difficulté de la discipline - difficulté pour passer du calcul sur les nombres entiers au calcul sur les décimaux. Et cette difficulté ne vient pas obligatoirement de l’enseignement de cette fameuse règle.

Donc, dans les deux cas, ce n’est pas la formulation de la règle enseignée qui est fondamentalement en jeu même si elle peut jouer un rôle dans le premier cas.

2) A suivre

MD

[1] Voici un dialogue avec ce type d’élève: il fait la faute classique mais si je lui dis « Fais attention, la règle que tu as apprise pour les nombres entiers n’est pas valable pour les décimaux », il répond : Quelle règle ? Je la donne et il répond « Je ne la connaissais pas » puis un silence et il ajoute : « Mais c’est vrai, ça marche ».

[2] Le fait d’augmenter la période pendant laquelle les élèves ne calculent que sur les entiers, c'est-à-dire de retarder l’introduction des décimaux, est en lui-même un facteur favorable à l’existence de calculs du type 2,5 ×10 = 2,50.

[3] Sauf pour les menuisiers, les physiciens etc. Et à partir du moment, c'est-à-dire une trentaine d’années, où ce problème m’a été posé par un élève qui m’a dit « Mon père me dit que, dans son métier, 1,70 m n’est pas la même chose que 1,7m », j’ai toujours enseigné la différence entre 1,70m et 1,7m.

[MichelDelord]

Je ne sais pas si ça répond tout à fait à la question de de Michel Delord, mais j'ai mis ça en ligne sur mon petit site :

http://primaths.fr/o...lierundeci.html

Salut

Vraiment merci pour avoir fait cet effort de développer ta pensée.

Je viens donc de le lire rapidement «Multiplier par 10 un nombre décimal » et il faut que j’y revienne et que « je laisse un peu reposer » pour pouvoir répondre quelque chose de sérieux (ou au moins d’à moitié sérieux, ou un quart …).

Par contre ma lecture même rapide me permet de dire que ça ne réponds pas à ma question : tu donnes deux procédures - une par plaques etc. et l’autre par tableau - très intéressantes à la première lecture - qui permettent de comprendre pourquoi 10 × 3,2 = 32. Il faut que je réfléchisse pour voir les avantages et les inconvénients de ces procédures..

Mais ce que je demandais explicitement était la chose suivante :

Une règle de multiplication par 10 dans laquelle n’intervient pas le fait de mettre un zéro à droite du nombre ( quelle que soit la manière dont on le dit )

-a) qui est d’abord définie pour les nombres entiers ( ce qui est bien puisque les élèves abordent les nombres entiers avant les décimaux)

-b) qui ne change pas d’énoncé (c’est la même règle) lorsque l’on passe des entiers aux décimaux

-c) qui est utile pour comprendre ensuite la relation entre l'arithmétique et l'algèbre

Or, ce que tu donnes est une explication mais pas une règle c'est-à-dire quelque chose qui s’écrit en deux lignes comme « Pour multiplier un entier par 10, on ajoute un zéro à droite du nombre » mais qui 1) n’a pas les inconvénients de la susdite règle et 2) ne change pas de forme quand on passe des entiers aux décimaux. Pour les entiers, on l’apprend donc au début sous la forme « Pour multiplier un nombre par 10, XXXX » puisque, comme tu le fais remarquer le mot entier est incompréhensible pour un élève à ce niveau. Et on l’apprend ensuite sous la forme « « Pour multiplier un nombre décimal par 10, XXXX », le XXXX étant le même dans les deux cas[1].

Il est donc clair que ce que tu donnes est intéressant mais ne réponds pas à ma question. Par contre, je la repose : connais-tu une règle de multiplication par 10 qui a les proprietès que j’ai donné supra ? Ma question s’adresse bien sûr aux autres lecteurs de ce fil.

Et merci pour ce « Multiplier par 10 un nombre décimal » . Je vais m’y replonger.

Michel Delord

[1] On peut discuter ensuite pour savoir si on continue à dire - et jusqu’à quand on le dit - « Pour multiplier un nombre par 10, XXXX » lorsque la notion de nombre décimal est acquise mais ce n’est pas le débat immédiat.

[vieuxmatheux]

Il me semble pourtant que la formulation suivante :

Que le nombre soit entier ou décimal, pour le multiplier par 10 il suffit de déplacer ses chiffres d'un cran vers la gauche.

Pour écrire le résultat en dehors du tableau, il est parfois nécessaire d'écrire des zéros ou une virgule.

qu'on trouve vers la fin de la page ressemble d'assez près à ce que tu appelles une règle, et qu'elle répond à tes deux premiers critères (valable à la fois pour les entiers et les décimaux).

Quant au troisième critère, il me parait vraiment étranger à la question. Ne serait-il pas introduit là uniquement parce que la formulation que tu envisages de proposer le satisfait ?

Pour reformuler la règle indépendamment de la page dont elle est tirée, on pourrait écrire :

Pour le multiplier un nombre par 10, on déplace ses chiffres d'un cran vers la gauche.

On montre ce déplacement à l'aide de la virgule ou d'un zéro.

[Ekole]

Bonjour,

Le fait de travailler sur la valeur des chiffres dansla numération de position aide la élèves à comprendre que:

Quand on multiplie un nombre entier par dix, cela revient à chercher un nombre de dizaines.

Par exemple 57 x 10 , c'est 57 dizaines, les uns sont muets, donc 570 (le 0 ayant été nommé chiffre du silence dans la numération)

Dans le produit d'un décimal par 10, je fais parler les chiffres

5,7 x 10 c'est 5 et 7 dixièmes que je multiplie par 10. soit 5 x 10 et 7/10 x10

J'ai donc 5 dizaines et 7 uns

Je propose un jeu aux élèves. Chaque élève joue un chiffre qui doit dire sa valeur selon la position qu'il occcupe. Un élève joue la virgule.

Exemple 32,15 3 dit trente, 2 dit 2, 1 dit 1/10 et 5 dit 5/100

On multiplie par 10:

3 dit trente x10 soit trois cents, 2 dit 20, 1/10 dit un et passe la virgule et 5 dit 5/10

Ce petit jeu permet de mettre en évidence le mouvement apparent de la virgule, pourr simplifier les calculs sans omettre le sens du produit par 10

[MichelDelord]

Posté par Ekole le 01 novembre 2012 - 11:51

Bonjour,

Je ne sais pas si le langage mathématique est plus démocratique (plus démocratique que quoi, d'ailleurs?), en tout cas il est peu ou pas polysémique.

Il n'y a pas pour moi de séparation entre langage mathématique et langage courant; mais il me semble que le premier supporte encore moins d'approximation que le second.

Pour ce qui est de la règle « Pour multiplier un nombre décimal par 10, on déplace la virgule d’un rang vers la droite », il s'agit je pense d'un "mouvement apparent" dont les élèves doivent avoir connaissance. La virgule ne se déplace pas, les chiffres changent de position.

Rien ne nous interdit de dire que le soleil se couche ou se lève. Mais nous savons que ce n'est qu'une apparence et en disant cela on n'imagine pas le soleil tourner autour de la terre... Quelqu'un nous l'a enseigné. On peut donc faire des raccourcis, sans risque. Evitons si possible d'enseigner trop de raccourcis aux élèves.

Ekole

A)

« Je ne sais pas si le langage mathématique est plus démocratique (plus démocratique que quoi, d'ailleurs?),

»

C’est effectivement une ânerie mais ce n’est pas moi qui disait ce type d’ânerie, mais les partisans des reformes à partir des maths modernes en 69/70 . Quand ils ont mis en place ce langage démocratique qui correspondait à leur volonté, tout le monde a bien été obligé de reconnaitre que la sélection par les maths était encore plus antidémocratique que la sélection précédente. [1]

*

* *

B)Petit rappel :

a)Lorsque les élèves n’ont pas encore abordé les décimaux et qu’ils ne connaissent que les entiers, il faut expliquer que les « zéros à gauche » qu’ils soient écrits ou omis ne changent pas la valeur du nombre et qu’on les dit pour cela « non significatifs ». De toutes les façons, ce ne peut plus être considéré comme une lubie de matheux puisque les élèves voient des expressions du type 037 sur des affichages et il faut bien le dire dans ce cas ce qu’il en est. Il vaut donc autant le faire systématiquement et a priori et en donnant les mots qui permettent de le penser. Je ne dis pas qu’il faut commencer par ça, bien sûr, mais ce doit être fait et acquis avant d’aborder les décimaux.

b) Lorsque l’élève aborde les décimaux, les choses se compliquent un peu puisque ce que l’on peut dire dépend de la manière dont ont été introduit les décimaux, ce qui peut se faire en première approximation de quatre manières - qui ont toutes été utilisées, soit en France soit à l’étranger - comme combinaisons de deux facteurs

i)la manière dont a été apprise la numération : a-t-on utilisé ou non certaines grandeurs du SI - c'est-à-dire des « nombres concrets » du type 3 cm, 5m , 3g, 2 l - comme base intuitive d’apprentissage de la numération ? Autre manière de le dire, introduit-on la mesure dés le début de l’apprentissage de la numération (M) ? On non (NonM) ? Les maths modernes l’interdisaient absolument - c’était trop physique et pas assez maths pures - et actuellement c’est le plus grand flou : sans que ce soit interdit, on n’explique pas comment le faire.

ii)La manière d’introduire les nombres décimaux : soit avant les fractions (DF), soit comme exemple particulier de fractions, les fractions décimales(FD).

On a donc quatre types de progressions MDF, MFD, NonMDF, NonMFD.

Évidemment le choix de la progression avant les décimaux détermine en partie l’introduction et l’enseignement des décimaux : pour revenir à notre problème, si un élève a suivi une progression FD , il va être possibles de lui donner beaucoup plus d’écritures possibles du décimal 25/10 [2], c'est-à-dire les écritures décimales et fractionnaires d’un nombre décimal [ 2,5 ; 02,5 ; 2,500 etc. et 25/10 ; 250/1000 etc.] que s’il suit une progression DF dans laquelle il n’aura que les écritures décimales du nombre décimal [ 2,5 ; 02,5 ; 2,500 etc. ]

Mais dans tous les cas, il est indispensable, et le plus tôt possible, d’enseigner les notions de partie entière et de partie décimale « d’un nombre décimal », et de chiffres significatifs de la partie décimale et en particulier que les « zéros à droite » ne sont pas significatifs.

[1] Et ce sont ceux qui ont sorti cette ânerie, c'est-à-dire le courant des défenseurs des maths modernes qui est actuellement à la tête de la manière de penser la pédagogie des mathématiques. Il suffit de prendre l’exemple le plus célèbre, celui de Guy Brousseau* qui est un des signataires de la charte des maths modernes, la Charte de Chambéry de juin 1968 et qui est maintenant considéré comme (un des) le meilleur(s) didacticien(s) des mathématiques du monde puisqu’il a reçu le premier Prix Klein, créé en 2003 : ce prix est par l’ICMI [Commission internationale pour l’instruction en mathématiques] qui est un comité particulier de l’IMU [international Mathematical Union] qui elle, attribue notamment la médaille Fields, c'est-à-dire le « Nobel des mathématiciens ». C’est donc « du très sérieux » ou au moins du très … officiel.

* http://fr.wikipedia.org/wiki/Guy_Brousseau ou http://guy-brousseau.com/

[2] 25/10 est ici l’écriture fractionnaire « canonique », de la même manière que 2,5 est l’écriture décimale canonique. Pour des raisons mathématique sur lesquelles on pourra revenir.

[MichelDelord]

C)

« Pour ce qui est de la règle " Pour multiplier un nombre décimal par 10, on déplace la virgule d’un rang vers la droite », il s'agit je pense d'un "mouvement apparent" dont les élèves doivent avoir connaissance. La virgule ne se déplace pas, les chiffres changent de position. »

Je veux bien reconnaitre que la virgule ne se déplace pas ++ par elle-même ++ mais je ne l’ai pas dit. Soyons précis, c’est vous qui le recommandez : j’ai dit que l’on devait déplacer la virgule et je le maintiens. Et donc, je ne suis pas d’accord avec « La virgule ne se déplace pas, les chiffres changent de position. »

Pourquoi ?

1) Parce que lorsque l’on parle de déplacement de la virgule ou des chiffres, on ne parle pas de nombres décimaux[ou de nombres entiers, d'ailleurs] puisque, par exemple, le nombre décimal nommé 2,5 est, à la fois,

2,5

25/10

250/1000

etc…

et qu’on pourrait aussi bien le nommer, avec autant de raisons, 25/10 et que, dans ce cas, il n’a pas virgule et on ne peut pas non plus « déplacer ses chiffres ».

Donc un nombre décimal n’a pas de virgule et il est donc absurde dans ce cadre de se poser la question de savoir si le mouvement de la virgule est apparent ou réel.

2) Si l’on parle de déplacer quelque chose, alors on ne parle plus de nombre décimal mais d’écriture d’un nombre décimal puisqu’il n’y a rien à déplacer dans un nombre décimal.

Plus précisement : si l’on parle de virgule, cela signifie que l’on parle de l’écriture d’un nombre décimal et plus précisément de l’écriture +décimale+ d’un nombre décimal, c'est-à-dire d’un dessin.

Et dans un dessin comme 1234,7 on peut déplacer n’importe quel élément.

Si l’on déplace le 2 d’un rang vers la droite, on obtient, sans autres complications : 1324,7

Si l’on déplace la virgule de deux rangs vers la gauche, on obtient sans plus de complications : 12,347

Donc par exemple, la règle Pour multiplier un nombre décimal par 100, on déplace la virgule de deux rangs vers la droite ne peut-être critiquée de ce point de vue

Je ne vois pas du tout pourquoi la virgule aurait un mouvement apparent et les chiffres un mouvement réel, ou le contraire d’ailleurs. Avez-vous d’autres explications permettant d’expliquer votre position ?

*

* *

D) De plus, je m’aperçois, en lisant le texte de Vieuxmatheux qu’il dit

Les règles données pour les décimaux par certains manuels sont fausses :

Pour multiplier par 100 un nombre décimal, on déplace la virgule de deux rangs vers la droite.

13,453

1345,3

7,5

75 ,

Il s'agit d'un truc formel, quasi magique, d'une boîte noire, ce qu'on ne peut pas toujours éviter, mais quand on choisit de recourir à un truc, le moins qu'on puisse en attendre est qu'il fournisse le résultat exact.

Cela n'empêchera pas certains élèves de réussir, mais ceux qui se tromperont en appliquant scrupuleusement la règle enseignée par le maître auront de bonnes raisons de trouver le procédé déloyal.

Bien sûr que si je déplace la virgule de « Aux armes, citoyens » de deux rangs vers la droite, ce qui donne « Aux armes c,itoyens », ça ne multiplie pas « Aux armes, citoyens » par 100.

Je donne peut-être l’impression d’exagérer, mais dans mon exemple, je ne fais qu’appliquer une règle à un objet pour lequel elle n’est pas conçue. Et c’exactement la même erreur de principe qui est faite lorsque un élève répond « 75 , » à la question « Combien vaut 100 fois 7,5 ? », puisqu’il applique aussi une règle hors de son domaine d’application.

Dit très rapidement – au risque de provoquer des malentendus - : Vieux matheux dit que la règle « Pour multiplier par 100 un nombre décimal, on déplace la virgule de deux rangs vers la droite » est fausse.

Je ne pense pas que l’on puisse s’exprimer ainsi car il est à mon avis impossible d’avancer ce type d’affirmation * si, au moins, on ne connait pas plus explicitement la progression qui a été employée.

La discussion sur ce point serait un peu longue et ressemblerait à celle que j’ai faite -trop rapidement certes - sur la typologie des élèves qui trouvent que 2,5× 10 = 2,50 - mais portant sur la manière dont a été enseigné cette règle.

Supposons, à grands traits, que l’enseignement de la règle a été précédé de la définition des zéros non significatifs de la partie décimale avec des exemples notés sur le cours et que l’élève peut donc retrouver, du type :

Définition de la partie décimale et de la partie entière […]

Les zéros à droite de la partie décimale sont dits non significatifs car leur présences ne modifie pas la valeur du nombre décimal

.

Exemples : Les zéros en bleu sont non significatifs, ceux en rouge ne le sont pas.

7,045

0

représente le même nombre que 7,045 ou 7,045

00

car les zéros bleus sont situés à droite de la partie décimale 045.

Mais 7,

0

45 ne représente pas le même nombre que 7,45 car 0 n’est pas à droite de la partie décimale.

Donc, dans un calcul, on peut remplacer 7,045

0

par 7,045 ou 7,045

00

ou 7,045

000

mais on ne peut pas remplacer 7,

0

45 par 7,45 ou 7,

00

45.

Pour multiplier un nombre par 100, on déplace la virgule de deux rangs vers la droite.

Cette règle convient aussi pour les nombres entiers puisqu’un nombre entier est un nombre décimal dont la partie décimale ne porte que des zéros.

Exemples :

100×4,735 = 473,5 ; 100× 23,02 = 2302

Attention :

100×45,2 = 100 × 45,20 = 4520

100×73 = 100 × 73, 00 = 7300 (on trouve le même résultat que si l’on avait employé la règle : Pour multiplier un nombre entier par 100, on écrit deux zéros à droite du nombre)

Dans ce cas et si l’élève à fait suffisamment d’exercices sur le sujet et s’il a noté le texte supra sur son cahier de cours de manière à pouvoir s’y reporter, on ne peut pas dire, à mon avis, que « la règle est fausse » tout d’abord parce que, en ce cas, c’est la problématique « règle fausse » / « règle juste » qui est fausse et inappropriée . Mais on peut dire, fort modestement, qu’elle a plus de chance ainsi de ne pas être appliquée à tort et à travers que si elle a été enseignée sans montrer avec précision dans quel cas elle peut-être appliquée et dans quels cas elle ne peut pas l’être.

Autrement dit, on ne peut donner une appréciation pédagogique ayant quelques chances de ne pas être stupide - et encore - sur la manière dont a été enseignée une règle hors de la connaissance de la progression qui aboutit à cet enseignement et hors de la connaissance des conditions d’application qui ont été enseignées pour cette règle.

A suivre

Michel Delord

*Sauf si l’erreur est grossière. Si l’on donne comme règle « Pour multiplier un nombre par 3, on lui ajoute 8 », je peux effectivement dire que la règle est fausse puisqu’elle ne marche que pour le nombre 4.

[MichelDelord]

Posté par Vieuxmatheux le 01 novembre 2012 - 18:45

Il me semble pourtant que la formulation suivante :

Que le nombre soit entier ou décimal, pour le multiplier par 10 il suffit de déplacer ses chiffres d'un cran vers la gauche.

Pour écrire le résultat en dehors du tableau, il est parfois nécessaire d'écrire des zéros ou une virgule.

qu'on trouve vers la fin de la page ressemble d'assez près à ce que tu appelles une règle, et qu'elle répond à tes deux premiers critères (valable à la fois pour les entiers et les décimaux).

Quant au troisième critère, il me parait vraiment étranger à la question. Ne serait-il pas introduit là uniquement parce que la formulation que tu envisages de proposer le satisfait ?

Pour reformuler la règle indépendamment de la page dont elle est tirée, on pourrait écrire :

Pour le multiplier un nombre par 10, on déplace ses chiffres d'un cran vers la gauche.

On montre ce déplacement à l'aide de la virgule ou d'un zéro.

A)Ni la formulation

« Que le nombre soit entier ou décimal, pour le multiplier par 10 il suffit de déplacer ses chiffres d'un cran vers la gauche. Pour écrire le résultat en dehors du tableau, il est parfois nécessaire d'écrire des zéros ou une virgule. »

ni la formulation

« Pour multiplier un nombre par 10, on déplace ses chiffres d'un cran vers la gauche. On montre ce déplacement à l'aide de la virgule ou d'un zéro. »

ne conviennent car, et c’est une des conditions que je posais, elles ne peuvent pas être énoncées de la même manière au moment où les élèves ne connaissent que les nombres entiers et au moment où ils connaissent les décimaux. En effet, le mot virgule ne peut être employé dans le premier cas et il est obligatoire dans le second.

B)Je m’aperçois - et par exemple pour la question traitée en A) - que nos échanges peuvent comporter des malentendus. Aussi pour les éviter , mes réponses sont obligatoirement plus longues et je prendrais un peu plus de temps pour répondre. Et en particulier je retarde un peu la publication de la fameuse règle pour traiter de la question du « mouvement des chiffres » et du « mouvement de la virgule », car une mise au point sur ce sujet clarifie la compréhension de la fameuse règle.

C)Vous ajoutez « Quant au troisième critère, il me parait vraiment étranger à la question. Ne serait-il pas introduit là uniquement parce que la formulation que tu envisages de proposer le satisfait ? », ce qui est une formulation que je trouve désagréable ; mais ce n’est pas grave, j’ai déjà entendu nettement pire.

N’aurait-il pas été plus sérieux de réfléchir aux liens qui existent entre l’arithmétique (et en particulier la question que nous traitons qui a pour noyau l’écriture décimale de position) et l’algèbre que de trouver des explications plus ou moins psychologiques à mon attitude ? Et quand à l’affirmation que ce troisième critère est étranger à question que nous traitons, elle est particulièrement aberrante.

En effet il y a au moins un lien - et un lien très fort - entre la numération décimale de position et l’algèbre, qui est la similitude qui existe entre nombre entier écrit en numération décimale de position et polynôme formel qui est ainsi signalée dans l’article Polynôme formel de Wikipedia :

L'ensemble des polynômes A[X] ressemble à bien des égards à celui des entiers. Les deux ensembles sont équipés de deux opérations : l'addition et la multiplication et ces opérations vérifient des propriétés regroupées sous le nom d'axiomes et définissant une structure dite d'anneau. L'élément neutre de l'addition est le polynôme constant 0 et si A contient un élément neutre pour la multiplication, généralement noté 1, l'élément neutre de A[X] pour la multiplication est le polynôme constant 1. L'exp

ression polynôme constant signifie qu'il s'exprime uniquement à l'aide d'une constante et sans monôme de degré strictement supérieur à 0.

L'analogie va plus loin. Michel Delord remarque dans «

Opérations arithmétiques et algèbre des polynômes

» [

http://michel.delord.free.fr/ar-alg.pdf

] que l'écriture décimale positionnelle du nombre 3021 s'écrit aussi 3×10

3

+ 2×10

1

+ 1. Cette écriture possède des analogies avec le polynôme f(X) = 3X

3

+ 2X + 1. La valeur 10 a été remplacée par l'indéterminée. [De même, l’écriture de 21 = 2×10

1

+ 1 ressemble à celle de g(X) = 2X+1]. Cette analogie est flagrante si l'on cherche à additionner 3021 avec 21. Les coefficients des différentes puissances de 10 s'additionnent entre eux comme les coefficients des puissances de l'indéterminée.

Dans un cas on trouve

3021 + 21 = 3×10

3

+ 4×10

1

+ 2 et dans l'autre

f(X)+ g(X) = 3X

3

+ 4X

1

+ 2.

Une multiplication des deux nombres 3021 et 21 et des deux polynômes f(X) et g(X) donnent encore des résultats semblables :

3021 × 21 = 6×10

4

+ 3×10

2

+ 4 × 10 + 1 et

f(X) × g(X) = 6X

4

+ 3X

2

+ 4 X + 1

L'analogie n'est pas totale, sa limite apparaît si une retenue se présente dans les opérations. Les mécanismes de retenues dans l'addition et la multiplication des entiers en système décimal ne sont pas les mêmes que pour les polynômes.[…]

Wikipedia : Article

Polynôme formel

,

http://fr.wikipedia.org/wiki/Polynôme_formel

Il existe d’autres approches que celle citée ci-dessus, venant de mathématiciens, montrant cette convergence, approches que je pourrai citer plus tard si nécessaire mais celle-ci est la plus simple d’accès et c’est bien pour cela que je l’avais écrite en 2003. Elle montre bien à elle-seule qu’il y a un lien naturel fort entre notre sujet et l’algèbre. En attendant, je recommande la lecture de mon texte « Opérations arithmétiques et algèbre des polynômes ou Apprend-on seulement les opérations pour trouver le résultat ? ». Il explicite plus en détail les relations entre numération décimale de position des nombres entiers et polynôme formel et montre que l’on peut prolonger ces relations d’un coté pour les décimaux et de l’autre pour les fractions rationnelles.

J’ai donc tendance à penser qu’il est un peu audacieux pour VieuxMatheux d’affirmer que mon troisième critère est étranger à notre question. Ce qui serait étrange, ++au contraire++, serait qu’il n’y ait pas ce lien lorsque l’on traite de la multiplication d’un entier ou d’un décimal par 10, question qui est donc en un certain sens équivalente à la multiplication par X d’un polynôme formel ou d’une fraction rationnelle.

Michel Delord

[vieuxmatheux]

Je maintiens que ce critère est étranger à la question.

Il est tout à fait lié à la réponse que tu fournis à cette question, ce qui n'est pas la même chose.

[vieuxmatheux]

Par ailleurs, qu'on puisse justifier un point de vue sur l'enseignement de la multiplication par 10 à l'école élémentaire par une analogie avec les polynômes formels me stupéfie :

D'une part l'analogie n'est pas totale comme MichelDelord le dit lui même… mais c'est le propre d'une analogie, qu'on jugera plus ou moins pertinente selon que les caractères communs nous sembleront essentiels ou accessoires.

En l'occurence, l'analogie ne me semble pas très bonne car notre système décimal est un système de position.

On écrit 2034 mais 2 X³ + 3X + 4

La nécessité du zéro dans le premier cas est pour moi essentielle et l'analogie avec des objets mathématiques où il n'est pas nécessaire reste superficielle.

Mais je me suis embarqué dans un débat secondaire.

La question suivante me parait plus importante : est-il légitime de justifier des choix pédagogiques par des arguments techniques hors de la portée de la plupart des enseignants qui auront à les appliquer.

Si l'argument (le plus simple comme le précise MD) repose sur les polynômes formels, ceux des professeurs d'école qui n'ont pas un gros bagage scientifique sont invités à suivre des conseils dont la justification ne peut que leur échapper. Est-il légitime de réduire ainsi les enseignants au rôle d'exécutant de consignes pensées par d'autres, évidemment bien plus savants et bien plus pertinents. C'est exactement ce qui s'est passé lors de la réforme des "mathématiques modernes" de 1970, avec le succès que l'on connait.

D'autres procédés me semblent également très discutables. Par exemple, dans un autre sujet, la référence au BIPM est une référence absolue et indiscutable, en revanche dans une note, MD écrit ceci :

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1] Et ce sont ceux qui ont sorti cette ânerie, c'est-à-dire le courant des défenseurs des maths modernes qui est actuellement à la tête de la manière de penser la pédagogie des mathématiques. Il suffit de prendre l’exemple le plus célèbre, celui de Guy Brousseau* qui est un des signataires de la charte des maths modernes, la Charte de Chambéry de juin 1968 et qui est maintenant considéré comme (un des) le meilleur(s) didacticien(s) des mathématiques du monde puisqu’il a reçu le premier Prix Klein, créé en 2003 : ce prix est par l’ICMI [Commission internationale pour l’instruction en mathématiques] qui est un comité particulier de l’IMU [international Mathematical Union] qui elle, attribue notamment la médaille Fields, c'est-à-dire le « Nobel des mathématiciens ». C’est donc « du très sérieux » ou au moins du très … officiel.

* http://fr.wikipedia....i/Guy_Brousseau ou http://guy-brousseau.com/

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Doit-on en conclure que les positions des organismes officiels doivent être considérées avec respect quant elles confortent celles de MD, avec une ironie condescendante dans le cas contraire ?

Sans compter qu'on peut accorder à Guy Brousseau le droit d'avoir évolué dans ses idées en 44 ans.

Autre point qui me semble important : quelle est la fonction de tous ces écrits ?

Il me semble vain de chercher à prouver à priori que telle ou telle démarche pédagogique sera nécessairement efficace.

Toute démarche est un choix, comportant des avantages (généralement, on les connait bien puisque ce sont eux qui ont motivé le choix) et des inconvénients qui sont généralement plus flous même si on découvre parfois a posteriori qu'ils étaient considérables.

Je pense donc, cher Michel Delord, que vos propositions seraient beaucoup plus utiles sur ce forum si vous allégiez considérablement l'appareillage "théorique".

A titre d'exemple, je trouve que la suggestion d'insister sur la non pertinence des zéros placés à gauche de l'écriture d'un nombre entier mérite d'être creusée (sous quelle forme ? quel type de tâche peut-on confier aux élèves ?…)

Je trouve également très intéressante dans un autre domaine votre démarche sur la mesure de longueur à partir de la constatation que 40 000 km pour le tour de la terre, c'est étonnamment rond (même si le travail final de mesure par triangulation me parait plus adapté au collège qu'à l'élémentaire où on ne sait pas mesurer les angles… encore qu'il y a peut-être une adaptation possible).

[vieuxmatheux]

J'ajouterai un dernier point.

Sans être un défenseur acharné de Guy Brousseau, je trouve que le courant qu'il représente a, entre autres mérites, celui d'avoir insisté sur l'importance de l'attention portée aux productions des élèves.

Classer les élèves en deux catégories, ceux qui ont compris les décimaux et ceux qui ne les ont pas compris, est tout de même un peu court. Et de toute façon ça ne fonde en rien la conviction que la fameuse règle de l'ajout du zéro n'est pour rien dans la mauvaise compréhension des décimaux.

En réalité, il y a beaucoup d'élèves qui en ont une compréhension partielle, insuffisante, qui témoigne souvent de beaucoup d'inventivité pour rendre compatibles ces nouveaux nombres avec ce qu'ils savent déjà.

Certains vont écrire que 2,3 x 10 = 2,30 ce qui peut être réfuté par le fait que 2,3 et 2,30 c'est la même chose comme l'indique MD... malheureusement cette réfutation n'est accessible qu'à ceux qui ont déjà bien compris les décimaux.

On peut aussi réfuter en montrant que 10 fois un peu plus de 2, ça ne peut pas être entre 2 et 3, c'est entre 20 et 30.

Cette explication a l'avantage d'être accessible à un plus grand nombre d'élèves, mais l'inconvénient d'être comptatible avec cette nouvelle réponse : 2,3 x 10 = 20,3

Voilà un bon exemple de ce que je disais plus haut sur le fait qu'il est beaucoup plus intéressant de prendre conscience des limites de la démarche qu'on retient que de chercher à prouver à tout prix qu'elle est parfaite ou du moins supérieure à toutes les autres.

Ce type d'erreur se rencontre réellement, de même que 2,3 x 10 = 20,30 qui s'appuie sur un raisonnement du type "2,3 c'est 2 et 3 petits bouts, pour obtenir 10 fois plus, il me faut 20 et 30 petits bouts" c'est analogue au raisonnement parfaitement correct qui dit que 10 fois (2 m et 3 cm), c'est 20 m et 30 cm.

L'attention aux procédures des élèves n'est elle-même pas une panacée. Certains étudiants ou stagiaires que je rencontre se noient dans une vaine tentative d'interprétation de toutes les productions de leurs élèves et en perdent de vue la nécessité de guider la classe et de dire aux moments clés ce qui est vrai, ce qui doit être retenu.

Tout ça pour dire que la critique des démaches les plus fréquentes et la proposition d'alternatives sont bien venues et même plus que ça. Les enseignants sont des adultes et s'en empareront, les testeront, les modifieront, mais leur demander d'adhérer a priori à une justification pléthorique et d'une technicité qui bien souvent n'est pas de leur domaine n'apporte rien.

[Ekole]

Bonjour,

Vieuxmatheux, merci d'être si précis et (relativement) concis.